द्विघात समीकरणों का गुणनखंडन करने की तरकीबें

द्विघात समीकरण वे सूत्र होते हैं जिन्हें Ax^2 + Bx + C = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। कभी-कभी, एक द्विघात समीकरण को अलग-अलग शब्दों के उत्पाद के रूप में फैक्टरिंग या समीकरण को व्यक्त करके सरल बनाया जा सकता है। इससे समीकरण को हल करना आसान हो सकता है। कारकों की पहचान करना कभी-कभी कठिन हो सकता है, लेकिन ऐसी तरकीबें हैं जो प्रक्रिया को आसान बना सकती हैं।

यह निर्धारित करने के लिए द्विघात समीकरण का परीक्षण करें कि क्या कोई संख्या और/या चर है जो समीकरण के प्रत्येक पद को विभाजित कर सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x^2 + 10x + 8 = 0 पर विचार करें। सबसे बड़ी संख्या जो समीकरण के प्रत्येक पद में समान रूप से विभाजित हो सकती है, 2 है, इसलिए 2 सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ) है।

समीकरण में प्रत्येक पद को GCF से विभाजित करें, और संपूर्ण समीकरण को GCF से गुणा करें। उदाहरण समीकरण 2x^2 + 10x + 8 = 0 में, इसका परिणाम 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2) होगा।

प्रत्येक पद में भाग पूरा करके व्यंजक को सरल कीजिए। अंतिम समीकरण में कोई भिन्न नहीं होना चाहिए। उदाहरण में, इसका परिणाम 2(x^2 + 5x + 4) = 0 होगा।

द्विघात समीकरण की जाँच करके देखें कि क्या यह Ax^2 + 0x - C = 0 के रूप में है, जहाँ A = y^2 और C = z^2 है। यदि ऐसा है, तो द्विघात समीकरण दो वर्गों के अंतर को व्यक्त कर रहा है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x^2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2^2 और C = 9 = 3^2 में, इसलिए y = 2 और z = 3।

समीकरण को फॉर्म (yx + z)(yx - z) = 0 में फैक्टर करें। उदाहरण समीकरण में, y = 2 और z = 3; इसलिए गुणनखंडित द्विघात समीकरण (2x + 3)(2x - 3) = 0 है। यह हमेशा एक द्विघात समीकरण का गुणनखंडित रूप होगा जो कि वर्गों का अंतर है।

द्विघात समीकरण का परीक्षण करके देखें कि क्या यह एक पूर्ण वर्ग है। यदि द्विघात समीकरण एक पूर्ण वर्ग है, तो इसे y^2 + 2yz + z^2 के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि समीकरण 4x^2 + 12x + 9 = 0, जिसे (2x)^2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। + 2(2x)(3) + (3)^2। इस मामले में, y = 2x, और z = 3।

जाँच कीजिए कि क्या पद 2yz धनात्मक है। यदि पद धनात्मक है, तो पूर्ण वर्ग द्विघात समीकरण के गुणनखंड हमेशा (y + z) (y + z) होते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समीकरण में, 12x धनात्मक है, इसलिए गुणनखंड (2x + 3) (2x + 3) = 0 हैं।

जाँच कीजिए कि क्या पद 2yz ऋणात्मक है। यदि पद ऋणात्मक है, तो गुणनखंड हमेशा (y - z) (y - z) होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त समीकरण में 12x के बजाय -12x पद है, तो गुणनखंड (2x - 3) (2x - 3) = 0 होंगे।

(vx + w)(yx + z) = 0 लिखकर द्विघात समीकरण के गुणनखंडित रूप को सेट करें। FOIL गुणन के नियमों को याद करें (प्रथम, बाहर, अंदर, अंतिम)। चूंकि द्विघात समीकरण का पहला पद एक Ax^2 है, समीकरण के दोनों कारकों में एक x शामिल होना चाहिए।

द्विघात समीकरण में A के सभी गुणनखंडों पर विचार करके v और y के लिए हल करें। यदि A = 1 है, तो v और y दोनों हमेशा 1 होंगे। उदाहरण समीकरण में x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, इसलिए v और y को गुणनखंडित समीकरण में हल करके (1x + w)(1x + z) = 0 प्राप्त किया जा सकता है।

निर्धारित करें कि w और z धनात्मक हैं या ऋणात्मक। निम्नलिखित नियम लागू होते हैं: सी = सकारात्मक और बी = सकारात्मक; दोनों कारकों में एक + चिह्न सी = सकारात्मक और बी = नकारात्मक है; दोनों कारकों में a - चिह्न C = ऋणात्मक और B = धनात्मक है; सबसे बड़े मान वाले कारक में + चिह्न C = ऋणात्मक और B = ऋणात्मक होता है; सबसे बड़े मान वाले गुणनखंड में एक - चिह्न होता है उदाहरण के लिए चरण 2 के समीकरण में, B = -9 और C = +8, इसलिए समीकरण के दोनों गुणनखंडों में - चिह्न होंगे, और गुणनखंडित समीकरण को (1x - w) (1x - z) के रूप में लिखा जा सकता है = 0.

w और z के मान ज्ञात करने के लिए C के सभी गुणनखंडों की एक सूची बनाएं। ऊपर के उदाहरण में, C = 8, इसलिए गुणनखंड 1 और 8, 2 और 4, -1 और -8, और -2 और -4 हैं। कारकों को बी में जोड़ना चाहिए, जो उदाहरण समीकरण में -9 है, इसलिए w = -1 और z = -8 (या इसके विपरीत) और हमारा समीकरण पूरी तरह से कारक है (1x - 1)(1x - 8) = 0.

ऊपर सूचीबद्ध ग्रेटेस्ट कॉमन फैक्टर विधि का उपयोग करके समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें। उदाहरण के लिए, समीकरण 9x^2 + 27x - 90 = 0 में, GCF 9 है, इसलिए समीकरण 9(x^2 + 3x - 10) तक सरल हो जाता है।

एक बॉक्स बनाएं और उसे दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाली तालिका में विभाजित करें। सरलीकृत समीकरण के Ax^2 को पंक्ति 1, कॉलम 1, और सरलीकृत समीकरण के C को पंक्ति 2, कॉलम 2 में रखें।

A को C से गुणा करें और गुणनफल के सभी गुणनखंड ज्ञात करें। उपरोक्त उदाहरण में, ए = 1 और सी = -10, इसलिए उत्पाद (1)(-10) = -10 है। -10 के गुणनखंड -1 और 10, -2 और 5, 1 और -10, और 2 और -5 हैं।

पहचानें कि उत्पाद AC के कौन से कारक B से जुड़ते हैं। उदाहरण में, बी = 3. -10 के गुणनखंड जो 3 तक जोड़ते हैं -2 और 5 हैं।

प्रत्येक पहचाने गए कारकों को x से गुणा करें। ऊपर के उदाहरण में, इसका परिणाम -2x और 5x होगा। इन दो नए शब्दों को चार्ट के दो खाली स्थानों में रखें, ताकि तालिका इस तरह दिखे:

एक्स^2 | 5x

-2x | -10

बॉक्स की प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के लिए GCF ज्ञात कीजिए। उदाहरण में, शीर्ष पंक्ति के लिए CGF x है, और निचली पंक्ति के लिए -2 है। पहले कॉलम के लिए GCF x है, और दूसरे कॉलम के लिए 5 है।

कारक समीकरण को (w + v) (y + z) के रूप में w और v के लिए चार्ट पंक्तियों से पहचाने गए कारकों और y और z के लिए चार्ट कॉलम से पहचाने गए कारकों का उपयोग करके लिखें। यदि चरण 1 में समीकरण को सरल बनाया गया था, तो समीकरण के GCF को गुणनखंडित व्यंजक में शामिल करना याद रखें। उदाहरण के मामले में, गुणनखंड समीकरण 9(x - 2)(x + 5) = 0 होगा।

किसी भी वर्णित विधि को शुरू करने से पहले सुनिश्चित करें कि समीकरण मानक द्विघात रूप में है।

एक पूर्ण वर्ग या वर्गों के अंतर की पहचान करना हमेशा आसान नहीं होता है। यदि आप शीघ्रता से देखते हैं कि जिस द्विघात समीकरण को आप गुणन करने का प्रयास कर रहे हैं, वह इनमें से किसी एक रूप में है, तो यह एक बड़ी मदद हो सकती है। हालाँकि, इसका पता लगाने में बहुत समय न लगाएं, क्योंकि अन्य तरीके तेज़ हो सकते हैं।

हमेशा एफओआईएल पद्धति का उपयोग करके कारकों को गुणा करके अपने काम की जांच करें। गुणनखंडों को हमेशा मूल द्विघात समीकरण से गुणा करना चाहिए।