किसी संख्या का वर्गमूल वह मान होता है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 0 का वर्गमूल 0 है, 100 का वर्गमूल 10 है और 50 का वर्गमूल 7.071 है। कभी-कभी, आप किसी संख्या के वर्गमूल का पता लगा सकते हैं, या बस याद कर सकते हैं, जो स्वयं एक "पूर्ण वर्ग" है, जो स्वयं से गुणा किए गए पूर्णांक का गुणनफल है; जैसे-जैसे आप अपनी पढ़ाई के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, आप इन नंबरों (1, 4, 9, 25, 36.. .).
इंजीनियरिंग, कलन और आधुनिक दुनिया के लगभग हर क्षेत्र में वर्गमूल से जुड़ी समस्याएं अपरिहार्य हैं। यद्यपि आप आसानी से ऑनलाइन वर्गमूल समीकरण कैलकुलेटर का पता लगा सकते हैं (उदाहरण के लिए संसाधन देखें), वर्गमूल समीकरणों को हल करना एक महत्वपूर्ण है बीजगणित में कौशल, क्योंकि यह आपको मूलकों के उपयोग से परिचित होने और वर्गमूल के दायरे के बाहर कई प्रकार की समस्या के साथ काम करने की अनुमति देता है दर असल।
वर्ग और वर्गमूल: मूल गुण
तथ्य यह है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को एक साथ गुणा करने से एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है, वर्गमूल की दुनिया में महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका अर्थ है उस धनात्मक संख्याओं के वास्तव में दो वर्गमूल होते हैं (उदाहरण के लिए, 16 का वर्गमूल 4 और −4 है, भले ही केवल पूर्व सहज ज्ञान युक्त हो)। इसी तरह, ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो स्वयं से गुणा करने पर ऋणात्मक मान लेती है। इस प्रस्तुति में, एक धनात्मक संख्या के ऋणात्मक वर्गमूल को नज़रअंदाज कर दिया जाएगा, ताकि "361 का वर्गमूल" को "−19 और 19" के बजाय "19" के रूप में लिया जा सके।
इसके अलावा, जब कोई कैलकुलेटर काम में न आने पर वर्गमूल के मूल्य का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहा हो, तो यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि वर्ग और वर्गमूल वाले फलन रैखिक नहीं होते हैं। आप बाद में ग्राफ़ के बारे में अनुभाग में इस पर और अधिक देखेंगे, लेकिन एक मोटे उदाहरण के रूप में, आप पहले ही देख चुके हैं कि 100 का वर्गमूल 10 है और 0 का वर्गमूल 0 है। देखने पर, यह आपको अनुमान लगाने के लिए प्रेरित कर सकता है कि 50 के लिए वर्गमूल (जो कि 0 और 100 के बीच आधा है) 5 होना चाहिए (जो कि 0 और 10 के बीच आधा है)। लेकिन आप यह भी जान चुके हैं कि 50 का वर्गमूल 7.071 होता है।
अंत में, आपने इस विचार को आत्मसात कर लिया होगा कि दो संख्याओं को एक साथ गुणा करने पर एक संख्या प्राप्त होती है स्वयं से बड़ा, जिसका अर्थ है कि संख्याओं के वर्गमूल हमेशा मूल से छोटे होते हैं संख्या। यह वह मामला नहीं है! 0 और 1 के बीच की संख्याओं का वर्गमूल भी होता है और हर स्थिति में वर्गमूल मूल संख्या से बड़ा होता है। यह भिन्नों का उपयोग करके सबसे आसानी से दिखाया जाता है। उदाहरण के लिए, 16/25 या 0.64 में अंश और हर दोनों में एक पूर्ण वर्ग होता है। इसका मतलब है कि भिन्न का वर्गमूल उसके ऊपर और नीचे के घटकों का वर्गमूल है, जो 4/5 है। यह 0.80 के बराबर है, जो 0.64 से बड़ी संख्या है।
वर्गमूल शब्दावली
"का वर्गमूलएक्स"आमतौर पर एक कट्टरपंथी संकेत कहा जाता है, या सिर्फ एक कट्टरपंथी (√) का उपयोग करके लिखा जाता है। इस प्रकार किसी के लिएएक्स:
\वर्ग{x}
इसके वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करता है। इसे इधर-उधर घुमाते हुए, किसी संख्या का वर्गएक्स2 के घातांक का उपयोग करके लिखा गया है (एक्स2). घातांक शब्द-प्रसंस्करण और संबंधित अनुप्रयोगों पर सुपरस्क्रिप्ट लेते हैं, और उन्हें शक्तियां भी कहा जाता है। क्योंकि मांग पर रेडिकल संकेत उत्पन्न करना हमेशा आसान नहीं होता है, इसलिए "का वर्गमूल" लिखने का एक और तरीका हैएक्स"एक घातांक का उपयोग करना है:
एक्स^{1/2}
यह बदले में एक सामान्य योजना का हिस्सा है:
एक्स^{(वाई/जेड)}
मतलब "उठाओ"एक्सकी शक्ति के लिएआप, फिर ले लो 'जेड' इसकी जड़।"एक्स1/2 इस प्रकार "उठाओ" का अर्थ हैएक्सपहली शक्ति के लिए, जो कि सरल हैएक्सफिर से, और फिर इसका 2 मूल या वर्गमूल लें।" इसे विस्तारित करते हुए,एक्स(5/3) मतलब "उठाओ"एक्स5 के घात तक, फिर परिणाम का तीसरा मूल (या घनमूल) ज्ञात कीजिए।"
रेडिकल्स का उपयोग 2 के अलावा अन्य जड़ों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, वर्गमूल। यह केवल मूलांक के ऊपरी बाएँ में एक सुपरस्क्रिप्ट जोड़कर किया जाता है।
\sqrt[3]{x^5}
फिर, उसी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जैसेएक्स(5/3) पिछले पैराग्राफ से करता है।
अधिकांश वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ हैं। इसका मतलब यह है कि न केवल वे अच्छे, साफ पूर्णांक (जैसे, 1, 2, 3, 4) नहीं हैं।. ।), लेकिन उन्हें एक साफ दशमलव संख्या के रूप में भी व्यक्त नहीं किया जा सकता है जो बिना पूर्णांकित किए समाप्त हो जाता है। एक परिमेय संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तो भले ही 2.75 एक पूर्णांक नहीं है, यह एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह भिन्न 11/4 के समान है। आपको पहले बताया गया था कि 50 का वर्गमूल 7.071 है, लेकिन यह वास्तव में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या से पूर्णांकित होता है। √50 का सटीक मान 5√2 है, और आप देखेंगे कि यह जल्द ही कैसे निर्धारित किया जाता है।
वर्गमूल फलन के रेखांकन
आप पहले ही देख चुके हैं कि वर्ग और वर्गमूल को शामिल करने वाले समीकरण अरैखिक होते हैं। इसे याद रखने का एक आसान तरीका यह है कि इन समीकरणों के हलों के आलेख रेखाएँ नहीं हैं। यह समझ में आता है, क्योंकि अगर, जैसा कि बताया गया है, 0 का वर्ग 0 है और 10 का वर्ग 100 है लेकिन वर्ग 5 का 50 नहीं है, किसी संख्या को केवल वर्ग करने से उत्पन्न होने वाला ग्राफ़ सही दिशा में वक्र होना चाहिए मूल्य।
यह मामला के ग्राफ के साथ है
वाई = एक्स^2
जैसा कि आप संसाधनों में कैलकुलेटर पर जाकर और मापदंडों को बदलकर स्वयं देख सकते हैं। रेखा बिंदु (0,0) से गुजरती है, और y 0 से नीचे नहीं जाती है, जिसकी आपको उम्मीद करनी चाहिए क्योंकि आप जानते हैं किएक्स2 कभी नकारात्मक नहीं होता। आप यह भी देख सकते हैं कि ग्राफ. के चारों ओर सममित हैआप-अक्ष, जो समझ में भी आता है क्योंकि किसी दी गई संख्या का प्रत्येक सकारात्मक वर्गमूल समान परिमाण के ऋणात्मक वर्गमूल के साथ होता है। इसलिए, 0 के अपवाद के साथ, प्रत्येकआपके ग्राफ पर मानआप = एक्स2 दो के साथ जुड़ा हुआ हैएक्स-मूल्य।
वर्गमूल की समस्या
मूल वर्गमूल समस्याओं से हाथ से निपटने का एक तरीका समस्या के अंदर "छिपे हुए" पूर्ण वर्गों की तलाश करना है। सबसे पहले, वर्ग और वर्गमूल के कुछ महत्वपूर्ण गुणों से अवगत होना महत्वपूर्ण है। इनमें से एक यह है कि, जैसेएक्स2 बस के बराबर हैएक्स(क्योंकि रेडिकल और एक्सपोनेंट एक दूसरे को रद्द करते हैं):
\sqrt{x^2y} = x\sqrt{y}
यही है, यदि आपके पास एक और संख्या को एक कट्टरपंथी गुणा करने के तहत एक पूर्ण वर्ग है, तो आप इसे "बाहर खींच सकते हैं" और इसे जो कुछ भी रहता है उसके गुणांक के रूप में उपयोग करें। उदाहरण के लिए, 50. के वर्गमूल पर लौटना
\sqrt{50} = \sqrt{(25)(2)} = 5\sqrt{2}
कभी-कभी आप वर्गमूल वाली संख्या के साथ समाप्त कर सकते हैं जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन फिर भी यह एक अपरिमेय संख्या होती है क्योंकि हर, अंश या दोनों में एक मूलांक होता है। ऐसे मामलों में, आपसे हर को युक्तिसंगत बनाने के लिए कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या
\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{45}}
अंश और हर दोनों में एक मूलांक होता है। लेकिन "45" की जांच करने के बाद, आप इसे 9 और 5 के गुणनफल के रूप में पहचान सकते हैं, जिसका अर्थ है कि
\sqrt{45} = \sqrt{(9)(5)} = 3\sqrt{5}
इसलिए, भिन्न लिखा जा सकता है
\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}
रेडिकल एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और आपके पास 6/3 = 2 रह जाता है।