प्रारंभिक बीजगणित गणित की प्रमुख शाखाओं में से एक है। बीजगणित संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करने की अवधारणा का परिचय देता है और इन चरों वाले समीकरणों में हेरफेर करने के नियमों को परिभाषित करता है। चर महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सामान्यीकृत गणितीय कानूनों के निर्माण की अनुमति देते हैं और अज्ञात संख्याओं को समीकरणों में शामिल करने की अनुमति देते हैं। यह अज्ञात संख्याएं हैं जो बीजगणित की समस्याओं का फोकस हैं, जो आमतौर पर आपको संकेतित चर के लिए हल करने के लिए प्रेरित करती हैं। बीजगणित में "मानक" चर को अक्सर x और y के रूप में दर्शाया जाता है।
रैखिक और परवलयिक समीकरणों को हल करना
चर के साथ समीकरण की तरफ से किसी भी स्थिर मान को बराबर चिह्न के दूसरी तरफ ले जाएं। उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए
4x^2 + 9 = 16
चर पक्ष से 9 निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 9 घटाएं:
4x^2 + 9 - 9 = 16 - 9
जो सरल करता है
4x^2 = 7
समीकरण को चर पद के गुणांक से विभाजित करें। उदाहरण के लिए,
\text{if } 4x^2 = 7 \text{ तब } \frac{4x^2}{4} = \frac{7}{4}
जिसके परिणामस्वरूप
एक्स^2 = 1.75
चर के घातांक को निकालने के लिए समीकरण का उचित मूल लें। उदाहरण के लिए,
\text{if } x^2 = 1.75 \text{ तब } \sqrt{x^2} = \sqrt{1.75}
जिसके परिणामस्वरूप
एक्स = 1.32
रेडिकल के साथ संकेतित चर के लिए हल करें
चर के किनारे पर स्थिरांक को रद्द करने के लिए उपयुक्त अंकगणितीय विधि का उपयोग करके चर वाले व्यंजक को अलग करें। उदाहरण के लिए, यदि
\sqrt{x + 27} + 11 = 15
आप घटाव का उपयोग करके चर को अलग करेंगे:
\sqrt{x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
मूल के चर से छुटकारा पाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को चर के मूल की शक्ति तक बढ़ाएँ। उदाहरण के लिए,
\sqrt{x + 27} = 4 \text{ फिर } (\sqrt{x + 27})^2 = 4^2
जो आपको देता है
एक्स + 27 = 16
चर के किनारे पर स्थिरांक को रद्द करने के लिए उपयुक्त अंकगणितीय विधि का उपयोग करके चर को अलग करें। उदाहरण के लिए, यदि
एक्स + 27 = 16
घटाव का उपयोग करके:
एक्स = 16 - 27 = -11
द्विघात समीकरणों को हल करना
समीकरण को शून्य के बराबर सेट करें। उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए
2x^2 - x = 1
समीकरण को शून्य पर सेट करने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाएं
2x^2 - x - 1 = 0
द्विघात का गुणनखंड या पूर्ण वर्ग, जो भी आसान हो। उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए
2x^2 - x - 1 = 0
ऐसा करना सबसे आसान है:
2x^2 - x - 1 = 0 \text{ बन जाता है } (2x + 1)(x - 1) = 0
चर के समीकरण को हल करें। उदाहरण के लिए, यदि
(2x + 1)(x - 1) = 0
तब समीकरण शून्य के बराबर होता है जब:
2x + 1 = 0
इसका आशय है
2x = -1 \text{, इसलिए } x = -\frac{1}{2}
या कब
\text{जब } x - 1 = 0\text{, आपको मिलता है } x = 1
ये द्विघात समीकरण के हल हैं।
भिन्नों के लिए एक समीकरण सॉल्वर
प्रत्येक भाजक का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए,
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^2 - 9}
बनने के लिए फैक्टर किया जा सकता है:
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
समीकरण के प्रत्येक पक्ष को हर के कम से कम सामान्य गुणक से गुणा करें। कम से कम सामान्य गुणक वह व्यंजक है जिसे प्रत्येक हर समान रूप से विभाजित कर सकता है। समीकरण के लिए
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
कम से कम सामान्य गुणक है (एक्स − 3)(एक्स+ 3). इसलिए,
(x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}\bigg) = (x - 3)(x + 3)\bigg (\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
हो जाता है
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
शर्तों को रद्द करें और इसके लिए हल करेंएक्स. उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए शर्तों को रद्द करना
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
देता है:
(एक्स + 3) + (एक्स - 3) = 10
ओर जाता है
2x = 10 \पाठ{, और } x = 5
घातीय समीकरणों से निपटना
किसी भी स्थिर पद को रद्द करके घातांकीय व्यंजक को पृथक करें उदाहरण के लिए,
100×(14^x) + 6 = 10
हो जाता है
\आरंभ {गठबंधन} १०० × (१४ ^ x) + ६ - ६ और = १० - ६ \\ और = ४ \ अंत {गठबंधन}
दोनों पक्षों को गुणांक से विभाजित करके चर के गुणांक को रद्द करें। उदाहरण के लिए,
100×(14^x) = 4
हो जाता है
\frac{100×(14^x)}{100} = \frac{4}{100} \\ \,\\ 14^x = 0.04
चर वाले घातांक को नीचे लाने के लिए समीकरण का प्राकृत लघुगणक लें। उदाहरण के लिए,
14^x = 0.04
के रूप में लिखा जा सकता है (लघुगणक के कुछ गुणों का उपयोग करके):
\ln (14^x)= \ln (0.04) \\ x × \ln (14) = \ln\bigg(\frac{1}{25}\bigg) \\ x × \ln (14) = \ एलएन (1) - \ln (25) \\ x × \ln (14) = 0 - \ln (25)
चर के समीकरण को हल करें। उदाहरण के लिए,
x × \ln (14) = 0 - \ln (25) \text{ बन जाता है } x = \frac{-\ln (25)}{\ln (14)} = -1.22
लघुगणक समीकरणों के लिए एक समाधान
चर के प्राकृतिक लॉग को अलग करें। उदाहरण के लिए, समीकरण
2\ln (3x) = 4 \text{ बन जाता है } \ln (3x) = \frac{4}{2} = 2
लॉग को उपयुक्त आधार के घातांक तक बढ़ाकर लॉग समीकरण को घातांकीय समीकरण में बदलें। उदाहरण के लिए,
\ln (3x) = 2
बन जाता है:
ई^{\ln (3x)}= ई^2
चर के समीकरण को हल करें। उदाहरण के लिए,
ई^{\ln (3x)}= ई^2
हो जाता है
\frac{3x}{3} = \frac{e^2}{3} \text{ सो } x = 2.46