क्या संबंध को एक कार्य बनाता है?

गणितीय कार्य व्यवसाय, इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं क्योंकि वे वास्तविक दुनिया की घटनाओं के लघु मॉडल के रूप में कार्य कर सकते हैं। फ़ंक्शंस और संबंधों को समझने के लिए, आपको सेट, ऑर्डर किए गए जोड़े और संबंधों जैसी अवधारणाओं में थोड़ी खुदाई करनी होगी। फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें केवल एक होता हैआपकिसी दिए गए के लिए मूल्यएक्समूल्य। अन्य प्रकार के संबंध मौजूद हैं जो कार्यों की तरह दिखते हैं लेकिन एक की सख्त परिभाषा को पूरा नहीं करते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

एक संबंध जोड़े में व्यवस्थित संख्याओं का एक समूह है। फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें केवल एक होता हैआपकिसी दिए गए के लिए मूल्यएक्समूल्य।

संबंधों और कार्यों का वर्णन करने के लिए, यह पहले सेट और ऑर्डर किए गए जोड़े पर चर्चा करने में मदद करता है। संक्षेप में, संख्याओं का एक समूह उनका एक संग्रह है, जो आमतौर पर घुंघराले ब्रेसिज़ के भीतर समाहित होता है, जैसे {15,1, 2/3} या {0,.22}। आम तौर पर, आप एक नियम के साथ एक सेट को परिभाषित करते हैं, जैसे कि 2 और 10 के बीच सभी सम संख्याएं, जिसमें शामिल हैं: {2,4,6,8,10}।

एक सेट में तत्वों की संख्या हो सकती है, या कोई भी नहीं, यानी शून्य सेट {}। एक क्रमित युग्म कोष्ठकों में संलग्न दो संख्याओं का एक समूह है, जैसे (0,1) और (45, -2)। सुविधा के लिए, आप ऑर्डर की गई जोड़ी में पहले मान को कॉल कर सकते हैंएक्समूल्य, और दूसराआपमूल्य। एक संबंध क्रमबद्ध जोड़े को एक सेट में व्यवस्थित करता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} एक संबंध है। आप साजिश कर सकते हैंएक्सतथाआपका उपयोग करके ग्राफ पर संबंध के मानएक्सतथाआपकुल्हाड़ियों

एक फलन एक संबंध है जिसमें कोई भी दिया गया हैएक्समान में केवल एक संगत हैआपमूल्य। आप सोच सकते हैं कि क्रमित युग्मों के साथ, प्रत्येकएक्सकेवल एक हैआपवैसे भी मूल्य। हालांकि, ऊपर दिए गए संबंध के उदाहरण में, ध्यान दें किएक्समान 1 और 2 प्रत्येक में दो संगत हैंआपमान, 0 और 5, और 10 और 15, क्रमशः। यह संबंध एक कार्य नहीं है। नियम फ़ंक्शन संबंध को एक निश्चितता देता है जो अन्यथा मौजूद नहीं है, के संदर्भ मेंएक्समूल्य। आप पूछ सकते हैं, कबएक्स1 है, क्या हैआपमूल्य? उपरोक्त संबंध के लिए, प्रश्न का कोई निश्चित उत्तर नहीं है; यह 0, 5 या दोनों हो सकता है।

अब एक ऐसे संबंध के उदाहरण की जाँच करें जो एक सच्चा फलन है: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}।एक्समूल्यों को कहीं भी दोहराया नहीं जाता है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, {( −1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)} को देखें। कुछआपमान दोहराए जाते हैं, लेकिन यह नियम का उल्लंघन नहीं करता है। आप अभी भी कह सकते हैं कि जब का मानएक्स0 है,आपनिश्चित रूप से 5 है।

आप ग्राफ़ पर संख्याओं को आलेखित करके और लंबवत रेखा परीक्षण लागू करके बता सकते हैं कि संबंध एक फ़ंक्शन है या नहीं। यदि ग्राफ़ से गुजरने वाली कोई लंबवत रेखा इसे एक से अधिक बिंदुओं पर नहीं काटती है, तो संबंध एक फ़ंक्शन है।

एक फ़ंक्शन के रूप में ऑर्डर किए गए जोड़े के एक सेट को लिखना एक आसान उदाहरण के लिए बनाता है, लेकिन जब आपके पास कुछ से अधिक संख्याएं होती हैं तो जल्दी से थकाऊ हो जाता है। इस समस्या के समाधान के लिए, गणितज्ञ समीकरणों के रूप में फलन लिखते हैं, जैसे

इस कॉम्पैक्ट समीकरण का उपयोग करके, आप जितने चाहें उतने ऑर्डर किए गए जोड़े उत्पन्न कर सकते हैं: के लिए विभिन्न मानों में प्लग करें Plugएक्स, गणित करो, और बाहर आओ अपनेआपमूल्य।

कई कार्य गणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं, जिससे लोग उन घटनाओं के विवरण को समझ सकते हैं जो अन्यथा रहस्यमय बनी रहती हैं। एक सरल उदाहरण लेने के लिए, गिरने वाली वस्तु के लिए दूरी समीकरण है equation

कहां हैतोसेकंड में समय है, औरजीगुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के लिए 9.8 मीटर प्रति सेकंड वर्ग में प्लग इन करें, और आप किसी भी समय मान पर किसी वस्तु द्वारा गिराई गई दूरी का पता लगा सकते हैं। ध्यान दें कि, उनकी सभी उपयोगिता के लिए, मॉडलों की सीमाएं हैं। स्टील की गेंद को गिराने के लिए उदाहरण समीकरण अच्छी तरह से काम करता है लेकिन पंख नहीं क्योंकि हवा पंख को धीमा कर देती है।