भिन्नों वाले बहुपदों को गुणन करने का सबसे अच्छा तरीका भिन्नों को सरल शब्दों में कम करने से शुरू होता है। बहुपद दो या दो से अधिक पदों के साथ बीजीय व्यंजकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, विशेष रूप से, एक ही चर के विभिन्न व्यंजकों वाले कई पदों का योग। बहुपदों को सरल बनाने में सहायता करने वाली रणनीतियों में सबसे बड़े सामान्य कारक को शामिल करना शामिल है, इसके बाद समीकरण को उसके निम्नतम शब्दों में समूहित करना शामिल है। भिन्नों वाले बहुपदों को हल करने पर भी यही बात लागू होती है।
परिभाषित भिन्नों वाले बहुपद
आपके पास भिन्नों वाले बहुपद वाक्यांश को देखने के तीन तरीके हैं। पहली व्याख्या गुणांक के लिए अंशों वाले बहुपदों को संबोधित करती है। बीजगणित में, गुणांक को एक चर से पहले पाई गई संख्या मात्रा या स्थिरांक के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, गुणांक 7_a_ के लिए, ख और (1/3)सी क्रमशः 7, 1 और (1/3) हैं। इसलिए, भिन्न गुणांक वाले बहुपदों के दो उदाहरण होंगे:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ और } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
"भिन्न के साथ बहुपद" की दूसरी व्याख्या अंश या अनुपात में मौजूद बहुपदों को संदर्भित करती है एक अंश और एक भाजक के साथ फार्म, जहां अंश बहुपद को हर से विभाजित किया जाता है बहुपद उदाहरण के लिए, यह दूसरी व्याख्या इस प्रकार है:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
तीसरी व्याख्या, इस बीच, आंशिक अंश अपघटन से संबंधित है, जिसे आंशिक अंश विस्तार के रूप में भी जाना जाता है। कभी-कभी बहुपद भिन्न जटिल होते हैं ताकि जब वे "विघटित" या "टूटे हुए" हो जाएं सरल शब्दों में, उन्हें बहुपद के योग, अंतर, उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है भिन्न उदाहरण के लिए, का जटिल बहुपद अंश:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
आंशिक भिन्न अपघटन के माध्यम से मूल्यांकन किया जाता है, जिसमें संयोगवश, बहुपदों का गुणनखंडन शामिल होता है, जो अपने सरलतम रूप में होना चाहिए:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
फैक्टरिंग की मूल बातें - वितरक संपत्ति और एफओआईएल विधि
गुणनखंड दो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें एक साथ गुणा करने पर तीसरी संख्या के बराबर होती है। बीजीय समीकरणों में, गुणनखंड यह निर्धारित करता है कि दिए गए बहुपद पर पहुंचने के लिए किन दो राशियों को एक साथ गुणा किया गया था। बहुपदों को गुणा करते समय वितरण गुण का भारी पालन किया जाता है। वितरण संपत्ति अनिवार्य रूप से उत्पादों को जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या को व्यक्तिगत रूप से गुणा करके एक योग को गुणा करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, वितरण संपत्ति को कैसे लागू किया जाता है, इसका निरीक्षण करें:
7(10x + 5) \text{ } 70x + 35 के द्विपद पर पहुंचने के लिए।
लेकिन, यदि दो द्विपदों को एक साथ गुणा किया जाता है तो एफओआईएल विधि के माध्यम से वितरण संपत्ति के एक विस्तारित संस्करण का उपयोग किया जाता है। एफओआईएल पहले, बाहरी, आंतरिक और अंतिम शब्दों को गुणा करने के लिए परिवर्णी शब्द का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, बहुपदों का गुणन करना एफओआईएल पद्धति को पीछे की ओर करने पर जोर देता है। भिन्न गुणांक वाले बहुपदों के साथ उपर्युक्त दो उदाहरण लें। उनमें से प्रत्येक पर एफओआईएल विधि को पीछे की ओर करने के परिणामस्वरूप के कारक होते हैं
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
पहले बहुपद के लिए, और के कारक
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
दूसरे बहुपद के लिए।
उदाहरण:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
उदाहरण:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\बड़ा)
बहुपद भिन्नों का गुणनखंडन करते समय उठाए जाने वाले कदम
ऊपर से, बहुपद भिन्नों में अंश में एक बहुपद शामिल होता है जिसे हर में एक बहुपद से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार बहुपद भिन्नों का मूल्यांकन करने के लिए पहले अंश बहुपद का गुणनखंड करना आवश्यक हो जाता है और उसके बाद हर बहुपद का गुणनखंडन किया जाता है। यह अंश और हर के बीच सबसे बड़ा सामान्य कारक, या GCF खोजने में मदद करता है। एक बार अंश और हर दोनों का जीसीएफ मिल जाने के बाद, यह रद्द हो जाता है, अंततः पूरे समीकरण को सरल शब्दों में कम कर देता है। ऊपर दिए गए मूल बहुपद भिन्न उदाहरण पर विचार करें
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
जीसीएफ परिणामों को खोजने के लिए अंश और हर बहुपदों का गुणनखंड करना:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
जीसीएफ होने के साथ (एक्स + 2).
अंश और हर दोनों में जीसीएफ एक-दूसरे को रद्द कर देता है ताकि निम्नतम शब्दों में अंतिम उत्तर दिया जा सके (एक्स + 5) ÷ (एक्स + 9).
उदाहरण:
\शुरू करें{गठबंधन} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\रद्द करें{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{aligned}
आंशिक भिन्न अपघटन के माध्यम से समीकरणों का मूल्यांकन
आंशिक अंश अपघटन, जिसमें फैक्टरिंग शामिल है, जटिल बहुपद भिन्न समीकरणों को सरल रूप में फिर से लिखने का एक तरीका है। ऊपर से उदाहरण पर दोबारा गौर करना
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
भाजक को सरल करें
प्राप्त करने के लिए हर को सरल कीजिए:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
अंश को पुनर्व्यवस्थित करें
इसके बाद, अंश को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि यह प्राप्त करने के लिए हर में जीसीएफ मौजूद हो:
\begin{aligned} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{aligned}
बाएं जोड़ के लिए, GCF है (एक्स - १), जबकि सही जोड़ के लिए, GCF है (एक्स + 2), जो अंश और हर में कैंसिल करता है, जैसा कि इसमें देखा गया है:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}} {(x + 2)\रद्द करें{(x - 1)}} + \frac{5\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x - 1) }
इस प्रकार, जब GCF रद्द हो जाता है, तो अंतिम सरलीकृत उत्तर होता है:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
आंशिक अंश अपघटन के समाधान के रूप में।