उलटा कार्य क्या है?

गणित में, एक फ़ंक्शन एक प्रक्रिया है जिसे आप एक स्वतंत्र चर पर लागू करते हैंएक्सआश्रित चर प्राप्त करने के लिएआप. यदि आप इसे "से जा रहे हैं" के रूप में सोचते हैं तो आपकाएक्सआपके पास पहुंचने के लिएआप, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन विपरीत तरीके से, परिणाम से वापस मूल मान पर जाता है। एक मायने में, एक उलटा कार्य मूल के विपरीत है, प्रक्रिया को "पूर्ववत" करना।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

गणितीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम की भूमिकाओं को उलट देता हैआपतथाएक्समूल समारोह में।

गणितज्ञ एक फ़ंक्शन को एक प्रक्रिया या नियम के रूप में परिभाषित करते हैं जो एक सेट के क्रमित जोड़े को उत्पन्न करता है। आप जोड़ी के पहले सदस्य के रूप में सोच सकते हैंएक्ससमारोह के, और दूसरे सदस्य के रूप मेंआप. एक सच्चे फ़ंक्शन में, पहले मान में केवल एक समाधान मान होता है जो इसके साथ जाता है। तो प्रत्येकएक्समान में केवल एक संगत हैआपमूल्य। तो, क्षैतिज रेखा के लिए समीकरण,आप= 1 एक फलन है, लेकिन उर्ध्वाधर रेखा,एक्स= 1 नहीं है।

किसी फलन का ग्राफ और उसका प्रतिलोम एक दूसरे के प्रतिबिम्ब हैं, जिसमें एक रेखा निरूपित करती है

यद्यपि ज्या और कोज्या फलन संबंधित हैं, एक दूसरे का विलोम नहीं है। साइन और कोसाइन फ़ंक्शन समान ग्राफिकल परिणाम उत्पन्न करते हैं, हालांकि कोसाइन 90 डिग्री से साइन "लीड" करता है। इसके अलावा, कोसाइन ज्या का व्युत्पन्न है। हालांकि, साइन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आर्क्साइन है, और कोसाइन का व्युत्क्रम आर्ककोसाइन है।

कई कार्यों के प्रतिलोम को खोजना अपेक्षाकृत आसान है: "स्वैप करें"आप" तथा "एक्स“समीकरण में, और फिर हल करेंआप. उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें

y के लिए अदला-बदलीएक्सदेता है

प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 4 घटाएं

और फिर दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके प्राप्त करें

जो उलटा कार्य है।

कार्यों के सभी व्युत्क्रम भी कार्य नहीं हैं। याद रखें कि कार्यों की परिभाषा कहती है कि प्रत्येकएक्सकेवल एक हैआपमूल्य। यद्यपि आर्क्साइन साइन फ़ंक्शन का विलोम है, आर्क्सिन तकनीकी रूप से एक फ़ंक्शन नहीं है, जैसा किएक्समानों के अपरिमित रूप से अनेक संगत हैंआपमूल्य। यह भी सच है

पहला एक फलन है, और दूसरा इसका प्रतिलोम है, लेकिन वर्गमूल दो संगत देता हैआपमान, सकारात्मक और नकारात्मक, इसे एक वास्तविक कार्य नहीं बनाते हैं।