एक धनात्मक घातांक आपको बताता है कि आधार संख्या को अपने आप से कितनी बार गुणा करना है। उदाहरण के लिए, घातीय शब्दआप3 के समान हैआप × आप × आप, याआपअपने आप से दो बार गुणा किया जाता है। एक बार जब आप उस मूल अवधारणा को समझ लेते हैं, तो आप नकारात्मक घातांक, भिन्नात्मक घातांक या दोनों के संयोजन जैसी अतिरिक्त परतों को जोड़ना शुरू कर सकते हैं।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक ऋणात्मक, भिन्नात्मक घातांकआप −म/नहीं फॉर्म के लिए फैक्टर किया जा सकता है:
1 / (नहीं√आप)म
नकारात्मक शक्तियों का फैक्टरिंग
नकारात्मक, भिन्नात्मक घातांकों का गुणनखंड करने से पहले, आइए एक त्वरित नज़र डालते हैं कि सामान्य रूप से नकारात्मक घातांक, या नकारात्मक शक्तियों को कैसे कारक बनाया जाए। एक नकारात्मक घातांक एक सकारात्मक घातांक के ठीक विपरीत करता है। तो जबकि एक सकारात्मक घातांक पसंद हैए4 गुणा करने के लिए कहता हैएअपने आप से तीन बार (इसलिए व्यंजक में कुल चार हैं), याए × ए × ए × ए,ऋणात्मक घातांक देखना आपको बताता हैविभाजनद्वारा द्वाराएचार बार: तो
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
या, इसे और अधिक औपचारिक रूप से रखने के लिए:
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
फैक्टरिंग भिन्नात्मक घातांक
अगला चरण यह सीख रहा है कि भिन्नात्मक घातांकों को कैसे गुणनखंडित किया जाए। आइए एक बहुत ही सरल भिन्नात्मक घातांक से प्रारंभ करें, जैसे suchएक्स1/आप. जब आप इस तरह एक भिन्नात्मक घातांक देखते हैं, तो इसका मतलब है कि आपको अवश्य ही लेना चाहिएआपआधार संख्या का वां मूल। इसे और अधिक औपचारिक रूप से रखने के लिए:
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
यदि यह भ्रामक लगता है, तो कुछ और ठोस उदाहरण मदद कर सकते हैं:
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(याद रखें,एक्सके समान है 2√एक्स;लेकिन यह अभिव्यक्ति इतनी सामान्य है कि 2, या अनुक्रमणिका संख्या, छोड़ी गई है।)
8^{1/3} = \sqrt[3]{8 }= 2
क्या होगा यदि भिन्नात्मक घातांक का अंश 1 नहीं है? फिर उस संख्या का मान एक घातांक के रूप में बना रहता है, जो पूरे "रूट" शब्द पर लागू होता है। औपचारिक शब्दों में, इसका अर्थ है:
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
अधिक ठोस उदाहरण के रूप में, इस पर विचार करें:
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक का संयोजन
जब ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांकों का गुणनखंडन करने की बात आती है, तो आप गुणनखंडन व्यंजकों के बारे में जो सीखा है उसे ऋणात्मक घातांक और भिन्नात्मक घातांक वाले जोड़ सकते हैं।
याद कीजिए,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
इस बात की परवाह किए बिना कि में क्या हैआपस्थान;आपअंश भी हो सकता है।
तो अगर आपके पास अभिव्यक्ति हैएक्स −ए/ख, जो 1/( के बराबर है)एक्सए/ख). लेकिन आप भिन्नात्मक घातांक के बारे में जो जानते हैं उसे भिन्न के हर के पद पर लागू करके भी आप एक कदम और सरल कर सकते हैं।
याद कीजिए,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
या, उन चरों का उपयोग करने के लिए जिनसे आप पहले से निपट रहे हैं,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
तो, सरल बनाने की दिशा में आगे की ओर बढ़ते हुएएक्स −ए/ख, आपके पास
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
इसके बारे में अधिक जाने बिना ही आप इसे सरल बना सकते हैंएक्स, खयाए।लेकिन अगर आप इनमें से किसी भी शब्द के बारे में अधिक जानते हैं, तो आप इसे और सरल बना सकते हैं।
भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक को सरल बनाने का एक और उदाहरण
इसे स्पष्ट करने के लिए, यहाँ एक और उदाहरण दिया गया है जिसमें थोड़ी और जानकारी जोड़ी गई है:
सरल
16^{-4/8}
सबसे पहले, क्या आपने देखा कि −4/8 को घटाकर −1/2 किया जा सकता है? तो आपके पास 16 −1/2, जो मूल समस्या की तुलना में पहले से ही बहुत अधिक मित्रवत (और शायद अधिक परिचित) दिखता है।
पहले की तरह सरल करते हुए, आप यहां पहुंचेंगे
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
जो आमतौर पर बस के रूप में लिखा जाता है
\frac{1}{\sqrt{16}}
और चूंकि आप जानते हैं (या जल्दी से गणना कर सकते हैं) कि 16 = 4, आप उस अंतिम चरण को सरल बना सकते हैं:
16^{-4/8} = \frac{1}{4}