एक फ़ंक्शन स्थिरांक और एक या अधिक चर के बीच संबंधों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, फलन f (x) = 5x + 10 चर x और स्थिरांक 5 और 10 के बीच संबंध को व्यक्त करता है। व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है और dy/dx, df (x)/dx या f'(x) के रूप में व्यक्त किया जाता है, विभेदन एक चर के दूसरे के संबंध में परिवर्तन की दर का पता लगाता है - उदाहरण में, x के संबंध में f (x) विभेदन इष्टतम समाधान खोजने के लिए उपयोगी है, जिसका अर्थ है अधिकतम या न्यूनतम शर्तों को खोजना। विभेदक कार्यों के संबंध में कुछ बुनियादी नियम मौजूद हैं।
एक स्थिर कार्य को अलग करें। एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है। उदाहरण के लिए, यदि f (x) = 5, तो f'(x) = 0.
. किसी फ़ंक्शन को अलग करने के लिए शक्ति नियम लागू करें। घात नियम कहता है कि यदि f (x) = x^n या x को घात n तक बढ़ा दिया जाए, तो f'(x) = nx^(n-1) या x को घात (n-1) तक बढ़ा दिया जाए और गुणा किया जाए उदाहरण के लिए, यदि f (x) = 5x, तो f'(x) = 5x^(1 - 1) = 5। इसी तरह, अगर f (x) = x^10, तो f'(x) = 9x^9; और यदि f (x) = 2x^5 + x^3 + 10, तो f'(x) = 10x^4 + 3x^2।
उत्पाद नियम का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। किसी उत्पाद का अंतर उसके व्यक्तिगत घटकों के अंतर का उत्पाद नहीं है: यदि f (x) = uv, जहां u और v दो अलग-अलग फलन हैं, तो f'(x) f'(u) को f'(v) से गुणा करने के बराबर नहीं है। बल्कि, दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न पहली बार दूसरे का व्युत्पन्न है, साथ ही दूसरी बार पहले का व्युत्पन्न है। उदाहरण के लिए, यदि f (x) = (x^2 + 5x) (x^3), दोनों फलनों के अवकलज क्रमशः 2x + 5 और 3x^2 हैं। फिर, उत्पाद नियम का उपयोग करते हुए, f'(x) = (x^2 + 5x) (3x^2) + (x^3) (2x + 5) = 3x^4 + 15x^3 + 2x^4 + 5x ^3 = 5x^4 + 20x^3।
भागफल नियम का उपयोग करके किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। भागफल एक फलन है जो दूसरे से विभाजित होता है। एक भागफल का व्युत्पन्न, हर बार के व्युत्पन्न के बराबर होता है, अंश से हर के व्युत्पन्न के अंश को घटाता है, फिर हर वर्ग द्वारा विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि f (x) = (x^2 + 4x) / (x^3), अंश और हर के व्युत्पन्न क्रमशः 2x + 4 और 3x^2 हैं। फिर, भागफल नियम का उपयोग करते हुए, f'(x) = [(x^3) (2x + 4) - (x^2 + 4x) (3x^2)] / (x^3)^2 = (2x^ 4 + 4x^3 - 3x^4 - 12x^3) / x^6 = (-x^4 - 8x^3) / x^6।
सामान्य डेरिवेटिव का प्रयोग करें। सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न, जो कोणों के फलन हैं, को पहले सिद्धांतों से प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं है - sin x और cos x के व्युत्पन्न क्रमशः cos x और -sin x हैं। घातांकीय फलन का व्युत्पन्न स्वयं फलन है - f (x) = f'(x) = e^x, और प्राकृतिक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न, ln x, 1/x है। उदाहरण के लिए, यदि f (x) = sin x + x^2 - 4x + 5, तो f'(x) = cos x + 2x - 4।
