गोलाकार की गणना कैसे करें

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के लिए चीजें कैसे काम करती हैं, इसके सैद्धांतिक मॉडल की तुलना करते समय, भौतिक विज्ञानी अक्सर सरल वस्तुओं का उपयोग करके वस्तुओं की ज्यामिति का अनुमान लगाते हैं। यह एक हवाई जहाज के आकार का अनुमान लगाने के लिए पतले सिलेंडरों का उपयोग कर सकता है या एक पेंडुलम की स्ट्रिंग को अनुमानित करने के लिए एक पतली, द्रव्यमान रहित रेखा का उपयोग कर सकता है।

गोलाकारता आपको यह अनुमान लगाने का एक तरीका देती है कि वस्तुएँ गोले के कितने करीब हैं। उदाहरण के लिए, आप गोलाकारता की गणना पृथ्वी के आकार के सन्निकटन के रूप में कर सकते हैं, जो वास्तव में, एक पूर्ण क्षेत्र नहीं है।

जब एक कण या वस्तु के लिए गोलाकारता का पता लगाया जाता है, तो आप गोलाकारता को सतह के अनुपात के रूप में परिभाषित कर सकते हैं एक गोले का क्षेत्र जिसमें कण या वस्तु के समान आयतन होता है जो कण के सतह क्षेत्र में होता है अपने आप। इसे मौचली के गोलाकार परीक्षण के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, डेटा के भीतर मान्यताओं का परीक्षण करने के लिए एक सांख्यिकीय तकनीक।

गणितीय शब्दों में कहें तो. द्वारा दी गई गोलाकारताΨ("साई") है:

कण या वस्तु के आयतन के लिएवी_पीऔर कण या वस्तु का सतह क्षेत्रए_पी. आप इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए कुछ गणितीय चरणों के माध्यम से देख सकते हैं कि ऐसा क्यों है।

सबसे पहले, आप एक कण के सतह क्षेत्र को व्यक्त करने का एक और तरीका ढूंढते हैं।

1. ​ए_रों = 4πr​²: किसी गोले की त्रिज्या के संदर्भ में उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से प्रारंभ करेंआर​.
2. ​( 4πr²​ ​)​^{​3 ​}: इसे ३ के घात पर लेकर क्यूब करें।
3. ​4³π​³​आर​⁶: सूत्र में घातांक 3 को वितरित करें।
4. ​4π(​4²π²​आर​⁶): फैक्टर आउट4πकोष्ठक का उपयोग करके इसे बाहर रखकर।
   
5. ​4एक्स ३² (​​4²π​²​आर​⁶ ​/​​3²): ध्यान से विचार करना3².​
   
6. ​36​​π (​​4π​​आर​³​/3​​)​²: एक गोले का आयतन प्राप्त करने के लिए कोष्ठकों से 2 के घातांक का गुणनखण्ड करें।
7. ​36πवी_पी²: कोष्ठक में दी गई सामग्री को कण के गोले के आयतन से बदलें।
8. ​ए_रों = (36V_पी²)^1/3: फिर, आप इस परिणाम का घनमूल ले सकते हैं ताकि आप सतह क्षेत्र में वापस आ जाएं।
9. 36^1/3​π​^1/3​वी​_पी^2/3: कोष्ठकों में संपूर्ण सामग्री में 1/3 के घातांक को वितरित करें।
10. ​π​^1/3(6​वी​_पी)^2/3: फैक्टर आउटπ​^1/3 चरण 9 के परिणाम से। यह आपको सतह क्षेत्र को व्यक्त करने की एक विधि देता है।
    

फिर, सतह क्षेत्र को व्यक्त करने के तरीके के इस परिणाम से, आप एक कण के सतह क्षेत्र के अनुपात को कण के आयतन के साथ फिर से लिख सकते हैं

जिसे परिभाषित किया गया हैΨ. क्योंकि इसे एक अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, एक वस्तु की अधिकतम गोलाकारता एक हो सकती है, जो एक पूर्ण क्षेत्र से मेल खाती है।

आप विभिन्न वस्तुओं के आयतन को बदलने के लिए अलग-अलग मानों का उपयोग करके देख सकते हैं कि गोलाकारता दूसरों की तुलना में कुछ आयामों या मापों पर कैसे अधिक निर्भर है। उदाहरण के लिए, जब कणों की गोलाकारता को मापते हैं, तो एक दिशा में लंबे कणों से इसके कुछ हिस्सों की गोलाई को बदलने की तुलना में गोलाकारता बढ़ने की संभावना अधिक होती है।

गोलाकार के लिए समीकरण का उपयोग करके, आप एक सिलेंडर की गोलाकारता निर्धारित कर सकते हैं। आपको सबसे पहले बेलन का आयतन ज्ञात करना चाहिए.. फिर, उस गोले की त्रिज्या की गणना करें जिसमें यह आयतन होगा। इस त्रिज्या वाले इस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, और फिर इसे बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल से विभाजित कीजिए।

यदि आपके पास 1 मीटर व्यास और 3 मीटर की ऊंचाई वाला एक सिलेंडर है, तो आप आधार और ऊंचाई के क्षेत्र के उत्पाद के रूप में इसकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। यह होगा

क्योंकि एक गोले का आयतन हैवी = 4πr³/3, आप इस आयतन की त्रिज्या की गणना इस प्रकार कर सकते हैं

इस आयतन वाले गोले के लिए, इसकी त्रिज्या r =. होगी(2.36 वर्ग मीटर³ एक्स (3/4​​π)​​)^1/3 = .83 मीटर।​

इस त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगाए = 4πr²या 4r²या 8.56 वर्ग मीटर³. सिलेंडर का सतह क्षेत्र 11.00 वर्ग मीटर है² द्वारा दिए गएए = 2(πr​²​) + 2πr x h, जो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों और बेलन के वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल का योग है। यह एक गोलाकार देता हैΨसिलेंडर के सतह क्षेत्र के साथ गोले के सतह क्षेत्र के विभाजन से .78 का।

आप इस चरण-दर-चरण प्रक्रिया को तेज कर सकते हैं जिसमें आयतन और सतह के साथ-साथ सिलेंडर का आयतन और सतह क्षेत्र शामिल है कम्प्यूटेशनल विधियों का उपयोग करने वाले एक क्षेत्र के हैं जो इन चरों की गणना एक-एक करके मानव की तुलना में बहुत अधिक तेज़ी से कर सकते हैं कर सकते हैं। इन गणनाओं का उपयोग करके कंप्यूटर-आधारित सिमुलेशन करना गोलाकार का सिर्फ एक अनुप्रयोग है।

गोलाकार की उत्पत्ति भूविज्ञान में हुई। चूंकि कण अनियमित आकार लेते हैं जिनमें मात्रा निर्धारित करना मुश्किल होता है, भूविज्ञानी हाकॉन वाडेल ने एक अधिक लागू परिभाषा बनाई कण के नाममात्र व्यास के अनुपात का उपयोग करता है, एक गोले के व्यास के साथ एक अनाज के समान मात्रा के साथ, उस क्षेत्र के व्यास के लिए जो शामिल होगा यह।

इसके माध्यम से, उन्होंने गोलाकारता की अवधारणा बनाई जिसका उपयोग भौतिक कणों के गुणों के मूल्यांकन में गोलाई जैसे अन्य मापों के साथ किया जा सकता है।

यह निर्धारित करने के अलावा कि वास्तविक दुनिया के उदाहरणों के लिए सैद्धांतिक गणना कितनी करीब है, गोलाकारता के कई अन्य उपयोग हैं। भूवैज्ञानिक यह पता लगाने के लिए तलछटी कणों की गोलाकारता निर्धारित करते हैं कि वे गोले के कितने करीब हैं। वहां से, वे अन्य मात्राओं की गणना कर सकते हैं जैसे कि कणों के बीच बल या विभिन्न वातावरणों में कणों का अनुकरण करते हैं।

ये कंप्यूटर-आधारित सिमुलेशन भूवैज्ञानिकों को पृथ्वी के प्रयोगों और अध्ययन की विशेषताओं जैसे कि तलछटी चट्टानों के बीच तरल पदार्थों की गति और व्यवस्था का अध्ययन करने देते हैं।

ज्वालामुखीय कणों के वायुगतिकी का अध्ययन करने के लिए भूवैज्ञानिक गोलाकार का उपयोग कर सकते हैं। त्रि-आयामी लेजर स्कैनिंग और स्कैनिंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप प्रौद्योगिकियों ने ज्वालामुखी कणों की गोलाकारता को सीधे मापा है। शोधकर्ता इन परिणामों की तुलना गोलाकारता को मापने के अन्य तरीकों से कर सकते हैं जैसे कि कार्यशील गोलाकार। यह टेट्राडेकाहेड्रॉन की गोलाकारता है, 14 चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन, ज्वालामुखी कणों के समतलता और बढ़ाव अनुपात से।

गोलाकारता को मापने के अन्य तरीकों में दो-आयामी सतह पर एक कण के प्रक्षेपण की गोलाकारता का अनुमान लगाना शामिल है। ये विभिन्न माप शोधकर्ताओं को ज्वालामुखियों से मुक्त होने पर इन कणों के भौतिक गुणों का अध्ययन करने के अधिक सटीक तरीके दे सकते हैं।

अन्य क्षेत्रों के लिए आवेदन भी ध्यान देने योग्य हैं। कंप्यूटर-आधारित विधियां, विशेष रूप से, तलछटी सामग्री की अन्य विशेषताओं जैसे सरंध्रता, कनेक्टिविटी की जांच कर सकती हैं और गोलाकारता के साथ-साथ वस्तुओं के भौतिक गुणों का मूल्यांकन करने के लिए जैसे मानव के ऑस्टियोपोरोसिस की डिग्री हड्डियाँ। यह वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को यह निर्धारित करने देता है कि प्रत्यारोपण के लिए जैव सामग्री कितनी उपयोगी हो सकती है।

नैनोकणों का अध्ययन करने वाले वैज्ञानिक सिलिकॉन नैनोक्रिस्टल के आकार और गोलाकारता को माप सकते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि उनका उपयोग ऑप्टोइलेक्ट्रॉनिक सामग्री और सिलिकॉन-आधारित प्रकाश उत्सर्जक में कैसे किया जा सकता है। इन्हें बाद में बायोइमेजिंग और दवा वितरण जैसी विभिन्न तकनीकों में उपयोग में लाया जा सकता है।