बीजगणित में, क्या होता है इसका अध्ययन करने के लिए संख्याओं के अनुक्रम मूल्यवान होते हैं क्योंकि कुछ बड़ा या छोटा होता रहता है। एक अंकगणितीय अनुक्रम को सामान्य अंतर से परिभाषित किया जाता है, जो अनुक्रम में एक संख्या और अगले एक के बीच का अंतर है। अंकगणितीय अनुक्रमों के लिए, यह अंतर एक स्थिर मान है और सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। नतीजतन, एक अंकगणितीय अनुक्रम एक निश्चित राशि से बड़ा या छोटा होता रहता है, जब भी अनुक्रम बनाने वाली सूची में एक नया नंबर जोड़ा जाता है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं की एक सूची है जिसमें लगातार शब्द एक स्थिर राशि, सामान्य अंतर से भिन्न होते हैं। जब सार्व अंतर धनात्मक होता है, तो अनुक्रम एक निश्चित मात्रा से बढ़ता रहता है, जबकि यदि यह ऋणात्मक है, तो अनुक्रम घट जाता है। अन्य सामान्य अनुक्रम ज्यामितीय अनुक्रम हैं, जिसमें शब्द एक सामान्य कारक से भिन्न होते हैं, और फाइबोनैचि अनुक्रम, जिसमें प्रत्येक संख्या दो पिछली संख्याओं का योग है।
अंकगणित अनुक्रम कैसे काम करता है
एक अंकगणितीय अनुक्रम एक प्रारंभिक संख्या, एक सामान्य अंतर और अनुक्रम में शब्दों की संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 12 से शुरू होने वाला एक अंकगणितीय अनुक्रम, 3 और पांच पदों का एक सामान्य अंतर 12, 15, 18, 21, 24 है। घटते क्रम का एक उदाहरण संख्या 3 से शुरू होने वाला, -2 और छह पदों का एक सामान्य अंतर है। यह क्रम 3, 1, −1, −3, −5, −7 है।
अंकगणितीय अनुक्रमों में अनंत संख्या में पद भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर दिया गया पहला क्रम अनंत पदों वाला होगा 12, 15, 18,... और वह क्रम अनंत तक चलता रहता है।
अंकगणित औसत
एक अंकगणितीय अनुक्रम में एक समान श्रृंखला होती है जो अनुक्रम के सभी शब्दों को जोड़ती है। जब पदों को जोड़ा जाता है और योग को पदों की संख्या से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम अंकगणितीय माध्य या औसत होता है। समांतर माध्य का सूत्र है
\text{mean}= \frac{ \text{योग }n \text{ शब्द}}{n}
अंकगणितीय अनुक्रम के माध्य की गणना करने का एक त्वरित तरीका यह है कि प्रेक्षण का उपयोग किया जाए, जब पहली और अंतिम पदों को जोड़ा जाता है, तो योग वही होता है जब अंतिम पदों के दूसरे और अगले पदों को जोड़ा जाता है या तीसरे और तीसरे को अंतिम में जोड़ा जाता है शर्तें। परिणामस्वरूप, अनुक्रम का योग पहले और अंतिम पदों का योग है जो पदों की संख्या का आधा है। माध्य प्राप्त करने के लिए, योग को पदों की संख्या से विभाजित किया जाता है, इसलिए अंकगणितीय अनुक्रम का माध्य पहले और अंतिम पदों के योग का आधा होता है। के लियेनहींमामलेए1 सेवा मेरेएनहीं, माध्य m के लिए संगत सूत्र है
एम= \frac{a_1+a_n}{2}
अनंत अंकगणितीय अनुक्रमों का कोई अंतिम पद नहीं होता है, और इसलिए उनका माध्य अपरिभाषित होता है। इसके बजाय, एक निश्चित संख्या के लिए योग को सीमित करके आंशिक योग के लिए एक माध्य पाया जा सकता है। उस स्थिति में, आंशिक योग और इसका माध्य उसी तरह पाया जा सकता है जैसे एक अनंत अनुक्रम के लिए।
अन्य प्रकार के अनुक्रम
संख्याओं के अनुक्रम अक्सर प्राकृतिक परिघटनाओं के प्रयोगों या मापों के अवलोकन पर आधारित होते हैं। इस तरह के अनुक्रम यादृच्छिक संख्या हो सकते हैं लेकिन अक्सर अनुक्रम अंकगणित या संख्याओं की अन्य क्रमबद्ध सूची बन जाते हैं।
उदाहरण के लिए, ज्यामितीय अनुक्रम अंकगणितीय अनुक्रमों से भिन्न होते हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य अंतर के बजाय एक सामान्य कारक होता है। प्रत्येक नए पद के लिए एक संख्या जोड़ने या घटाने के बजाय, एक संख्या को हर बार एक नया शब्द जोड़ने पर गुणा या विभाजित किया जाता है। एक क्रम जो १०, १२, १४,... 2 के सामान्य अंतर के साथ एक अंकगणितीय अनुक्रम के रूप में 10, 20, 40,... 2 के एक सामान्य कारक के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम के रूप में।
अन्य अनुक्रम पूरी तरह से अलग नियमों का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम शब्द पिछली दो संख्याओं को जोड़कर बनते हैं। इसका क्रम 1, 1, 2, 3, 5, 8,... आंशिक योग प्राप्त करने के लिए शब्दों को अलग-अलग जोड़ना पड़ता है क्योंकि पहले और अंतिम शब्दों को जोड़ने की त्वरित विधि इस क्रम के लिए काम नहीं करती है।
अंकगणित अनुक्रम सरल हैं लेकिन उनके वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग हैं। यदि प्रारंभिक बिंदु ज्ञात है और सामान्य अंतर पाया जा सकता है, तो भविष्य में एक विशिष्ट बिंदु पर श्रृंखला के मूल्य की गणना की जा सकती है और औसत मूल्य भी निर्धारित किया जा सकता है।