प्राथमिक विद्यालय के गणित में, जब छात्र सरल रैखिक फलनों को रेखांकन करना सीखते हैं, तो उन्हें a. की अवधारणा से परिचित कराया जाता हैढाल.
एक रेखीय फलन केवल एक होता है जिसमें किसी प्रकार की एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया गया ग्राफ होता है, जिसका स्थान और दिशा के संबंध में होती हैएक्स- तथाआप-अक्ष फ़ंक्शन के गुणों के आधार पर।
एक रैखिक समीकरण का रूप होता है
वाई = एमएक्स + बी
कहा पेआपआश्रित चर है,मढलान है, औरखएक मात्रा है जिसे कहा जाता हैआप-अवरोधन, वह बिंदु जिस पर रेखा पार करती हैआप-एक्सिस।
लेकिन आपने एक गणितीय रचना के बारे में भी सुना होगा जिसे a. कहा जाता हैग्रेड, या एक प्रतिशत ग्रेड। "ढलान अनुपात" और "ढलान का ग्रेड" जैसे उलझे हुए, अस्पष्ट शब्द मदद नहीं करते हैं।
क्या ढलान और ग्रेड संबंधित हैं? वे वास्तव में हैं, और दोनों गणित और इंजीनियरिंग में अपरिहार्य हैं।
ढलान क्या है?
दैनिक शब्दों में, ढलान एक स्थिर, निरंतर चढ़ाई या अवरोहण है। गणित में भी इसका यही अर्थ है, लेकिन अधिक औपचारिक तरीके से।एक रेखा का ढलान क्षैतिज (x) दूरी में एक इकाई परिवर्तन के लिए ऊर्ध्वाधर (y) दूरी में परिवर्तन है।
उदाहरण के लिए, यदि एक समन्वय प्रणाली में एक बिंदु सकारात्मक में 11 इकाइयों को स्थानांतरित करता है
एक्स-दिशा और नकारात्मक में चार इकाइयाँआप-दिशा, ढाल (-4)/(11) = -0.364 है। ऋण चिह्न का अर्थ है क्षैतिज के संबंध में रेखा कोण "ढलान"एक्स-एक्सिस।एक क्षैतिज रेखा जैसे फंक्शनआप= 5, जिसमें कोई ऊर्ध्वाधर परिवर्तन नहीं है, का ढलान 0 है।एक खड़ी रेखा,जैसे किएक्स = −3, एक अपरिभाषित ढलान हैचूंकि कोई क्षैतिज परिवर्तन नहीं है और गणित में शून्य से विभाजित करने की अनुमति नहीं है।
प्वाइंट-स्लोप फॉर्मूला
बिंदु-ढलान सूत्र एक रेखा के समीकरण को निर्धारित करने में सहायक होता है जब या तो दो बिंदु या एक बिंदु और ढलान ज्ञात हो। इसका रूप है
y - y_0 = m (x - x_0)
यदि आपको निर्देशांक (12, -7) दिए गए हैं और बताया गया है कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में 1.25 की ढलान है, तो आप सामान्य समीकरण निर्धारित कर सकते हैं:
(y - (−7)) = 1.25(x - 12) \\ (y + 7) = 1.25x −15 \\ y = 1.25x - 22
प्रतिशत ग्रेड
ग्रेड, याप्रतिशत ग्रेड, केवल प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया ढलान है। इसका उपयोग अक्सर वास्तविक जीवन की स्थितियों में किया जाता है जिसमें सड़कों का निर्माण शामिल होता है, जिनमें से सबसे अधिक ढलान वाले आश्चर्यजनक रूप से कम ढलान वाले होते हैं।
उदाहरण के लिए, पूर्वी यू.एस. में पेंसिल्वेनिया टर्नपाइक की अधिकतम ढलान 0.03 है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी खंड पर यात्रा करने वाले प्रत्येक 100 क्षैतिज पैरों के लिए 3 फीट से अधिक नहीं बढ़ता या गिरता है। इस उदाहरण में प्रतिशत ग्रेड १०० × ०.०३ = ३ प्रतिशत है।
त्रिकोणमिति में,आप/एक्स, या"रन से ऊपर उठो,"आरोही या अवरोही रेखा और क्षैतिज द्वारा गठित कोण की स्पर्शरेखा भी है। इसका अर्थ है कि प्रतिलोम स्पर्शरेखा (tan .) −1 या एक कैलकुलेटर पर आर्कटन) ढलान के इस कोण के बराबर है।
- भीषण टूर डी फ्रांस में, पश्चिमी यूरोप के पहाड़ों के माध्यम से तीन सप्ताह की दौड़ की विशेषता है दुनिया में सर्वश्रेष्ठ पुरुष साइकिल चालक, 13 प्रतिशत तक पहुंचने वाले ग्रेड को असाधारण रूप से माना जाता है भयंकर।
ढलान दूरी कैलकुलेटर
यदि आप किसी रेखा के ढलान को जानते हैं, तो आप लंबवत दूरी के फलन के रूप में तय की गई क्षैतिज दूरी की गणना कर सकते हैं, या इसके विपरीत। मान लें कि आप जानते हैं कि आप 4 प्रतिशत ग्रेड ऊपर जा रहे हैं। यदि आप ३० मिनट चलते हैं और आपकी क्षैतिज स्थिति ४ मील प्रति घंटे की दर से बदलती है, तो आपने कितनी ऊंचाई प्राप्त की है?
30 मिनट (1/2 घंटा) के लिए 4 मील प्रति घंटे 2 मील है, और यदि प्रतिशत ग्रेड 4 है, तो ढलान 4/100 = 0.04 है। चूंकि ढलान रन से ऊपर है और इस मामले में "रन" 2 मील है, ऊर्ध्वाधर लाभ निम्नानुसार पाया जा सकता है:
\begin{aligned} 0.04 &= \frac{y}{2 \;\text{मील}} \\ y &= 0.04×2 \\ &= 0.08 \;\text{मील, या लगभग} \\ &0. 08 \;\text{mi}×5,280 \;\text{ft/mi} = 422 \;\text{ft} \end{aligned}