संयोजन और क्रमपरिवर्तन की गणना कैसे करें

मान लीजिए कि आपके पास n प्रकार के आइटम हैं, और आप उनमें से r के संग्रह का चयन करना चाहते हैं। हम इन वस्तुओं को किसी विशेष क्रम में चाह सकते हैं। हम आइटम क्रमपरिवर्तन के इन सेटों को कहते हैं। यदि आदेश मायने नहीं रखता है, तो हम संग्रह संयोजनों के सेट को कहते हैं। संयोजन और क्रमपरिवर्तन दोनों के लिए, आप उस मामले पर विचार कर सकते हैं जिसमें आप कुछ n प्रकारों को से अधिक चुनते हैं एक बार, जिसे 'दोहराव के साथ' कहा जाता है, या वह मामला जिसमें आप प्रत्येक प्रकार को केवल एक बार चुनते हैं, जिसे 'नहीं' कहा जाता है दोहराव'। लक्ष्य किसी स्थिति में संभव संयोजनों या क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना करने में सक्षम होना है।

फैक्टोरियल फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर संयोजन और क्रमपरिवर्तन की गणना करते समय किया जाता है। एन! मतलब N×(N-1)×...×2×1. उदाहरण के लिए, ५! = 5×4×3×2×1 = 120. वस्तुओं के एक सेट को ऑर्डर करने के तरीकों की संख्या एक भाज्य है। तीन अक्षर ए, बी और सी लें। आपके पास पहले अक्षर के लिए तीन विकल्प हैं, दूसरे के लिए दो और तीसरे के लिए केवल एक। दूसरे शब्दों में, कुल 3×2×1 = 6 ऑर्डरिंग। सामान्य तौर पर, n हैं! एन आइटम ऑर्डर करने के तरीके।

मान लीजिए कि आपके पास तीन कमरे हैं जिन्हें आप पेंट करने जा रहे हैं, और प्रत्येक को पांच रंगों में से एक रंग दिया जाएगा: लाल (आर), हरा (जी), नीला (बी), पीला (वाई) या नारंगी (ओ)। आप जितनी बार चाहें प्रत्येक रंग चुन सकते हैं। आपके पास पहले कमरे के लिए चुनने के लिए पाँच रंग हैं, दूसरे के लिए पाँच और तीसरे के लिए पाँच। यह कुल 5×5×5 = 125 संभावनाएं देता है। सामान्य तौर पर, n दोहराने योग्य विकल्पों में से किसी विशेष क्रम में r आइटम्स के समूह को चुनने के तरीकों की संख्या n^r है।

अब मान लीजिए हर कमरा एक अलग रंग का होने वाला है। आप पहले कमरे के लिए पांच रंगों में से चुन सकते हैं, दूसरे के लिए चार और तीसरे के लिए सिर्फ तीन। यह 5×4×3 = 60 देता है, जो कि केवल 5!/2 होता है। सामान्य तौर पर, n गैर-दोहराने योग्य विकल्पों में से किसी विशेष क्रम में r आइटम का चयन करने के लिए स्वतंत्र तरीकों की संख्या n!/(n–r)! है।

इसके बाद, भूल जाते हैं कि कौन सा कमरा किस रंग का है। रंग योजना के लिए बस तीन स्वतंत्र रंग चुनें। आदेश यहां मायने नहीं रखता है, इसलिए (लाल, हरा, नीला) वही है (लाल, नीला, हरा)। तीन रंगों के किसी भी पिक के लिए 3 हैं! जिस तरह से आप उन्हें ऑर्डर कर सकते हैं। तो आप क्रमपरिवर्तन की संख्या 3 से कम कर देते हैं! 5!/(2!×3!) = 10 प्राप्त करने के लिए। सामान्य तौर पर, आप n!/[(n–r)!×r!] तरीकों से n गैर-दोहराने योग्य विकल्पों के चयन से किसी भी क्रम में r आइटम का एक समूह चुन सकते हैं।

अंत में, आपको एक रंग योजना बनानी होगी जिसमें आप जितनी बार चाहें किसी भी रंग का उपयोग कर सकें। एक चतुर बहीखाता कोड इस गिनती कार्य में मदद करता है। कमरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीन एक्स का प्रयोग करें। आपके रंगों की सूची को 'rgbyo' द्वारा दर्शाया गया है। एक्स को अपनी रंग सूची में मिलाएं, और प्रत्येक एक्स को इसके बाईं ओर पहले रंग से संबद्ध करें। उदाहरण के लिए, rgXXbyXo का अर्थ है कि पहला कमरा हरा है, दूसरा हरा है और तीसरा पीला है। एक एक्स में बाईं ओर कम से कम एक रंग होना चाहिए, इसलिए पहले एक्स के लिए पांच उपलब्ध स्लॉट हैं। क्योंकि सूची में अब एक एक्स शामिल है, दूसरे एक्स के लिए छह उपलब्ध स्लॉट और तीसरे एक्स के लिए सात उपलब्ध स्लॉट हैं। कुल मिलाकर, 5×6×7 = 7!/4! कोड लिखने के तरीके। हालांकि, कमरों का क्रम मनमाना है, इसलिए वास्तव में केवल 7!/(4!×3!) अद्वितीय व्यवस्थाएं हैं। सामान्य तौर पर, आप (n+r–1)!/[(n–1)!×r!] तरीकों से n दोहराने योग्य विकल्पों में से किसी भी क्रम में r आइटम चुन सकते हैं।