एक वेक्टर बनाने के लिए जो किसी अन्य दिए गए वेक्टर के लंबवत है, आप वेक्टर के डॉट-उत्पाद और क्रॉस-उत्पाद के आधार पर तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं। वैक्टर A = (a1, a2, a3) और B = (b1, b2, b3) का डॉट-उत्पाद संबंधित घटकों के उत्पादों के योग के बराबर है: A∙B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3। यदि दो सदिश लंबवत हैं, तो उनका डॉट-उत्पाद शून्य के बराबर है। दो वैक्टरों के क्रॉस-उत्पाद को A×B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2*b1) के रूप में परिभाषित किया गया है। दो गैर-समानांतर वैक्टर का क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर है जो दोनों के लंबवत है।
एक काल्पनिक अज्ञात सदिश V = (v1, v2) लिखिए।
इस वेक्टर और दिए गए वेक्टर के डॉट-उत्पाद की गणना करें। यदि आपको U = (-3,10) दिया जाता है, तो बिंदु गुणनफल V∙U = -3 v1 + 10 v2 है।
डॉट-उत्पाद को 0 के बराबर सेट करें और एक अज्ञात घटक के लिए दूसरे के संदर्भ में हल करें: v2 = (3/10) v1.
v1 के लिए कोई भी मान चुनें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए v1 = 1।
v2 के लिए हल करें: v2 = 0.3। वेक्टर वी = (1,0.3) यू = (-3,10) के लंबवत है। यदि आप v1 = -1 चुनते हैं, तो आपको सदिश V' = (-1, -0.3) मिलेगा, जो पहले समाधान की विपरीत दिशा में इंगित करता है। दिए गए वेक्टर के लंबवत द्वि-आयामी विमान में ये केवल दो दिशाएं हैं। आप जो भी परिमाण चाहते हैं, आप नए वेक्टर को माप सकते हैं। उदाहरण के लिए, इसे परिमाण 1 के साथ एक इकाई वेक्टर बनाने के लिए, आप W = V/(v का परिमाण) = V/(sqrt (10) = (1/sqrt (10), 0.3/sqrt (10)) का निर्माण करेंगे।
ऐसा कोई मनमाना सदिश चुनें जो दिए गए सदिश के समानांतर न हो। यदि एक सदिश Y एक सदिश X के समानांतर है, तो Y = a*X कुछ गैर-शून्य स्थिरांक a के लिए। सरलता के लिए, किसी एक इकाई आधार सदिश का उपयोग करें, जैसे कि X = (1, 0, 0)।
यू = (10, 4, -1) का उपयोग करके एक्स और यू के क्रॉस उत्पाद की गणना करें: डब्ल्यू = एक्स × यू = (0, 1, 4)।
जाँच कीजिए कि W, U के लंबवत है। W∙U = 0 + 4 - 4 = 0। Y = (0, 1, 0) या Z = (0, 0, 1) का प्रयोग करने से भिन्न-भिन्न लंब सदिश प्राप्त होते हैं। वे सभी समीकरण 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 द्वारा परिभाषित समतल में होंगे।