पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं में क्या अंतर है?

वास्तविक संख्या की परिभाषा इतनी व्यापक है कि यह गणितीय ब्रह्मांड में लगभग सभी संख्याओं को समाहित करती है। पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक वास्तविक संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं, जैसा कि परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ हैं। वास्तविक संख्या समुच्चय को प्रतीक the द्वारा निरूपित किया जाता है।

गिनती के लिए हम आमतौर पर जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, उन्हें प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3...) पर जाना जाता है। जब आप शून्य को शामिल करते हैं, तो आपके पास एक समूह होता है जिसे पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3...) के रूप में जाना जाता है। पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक संस्करणों के साथ-साथ सभी पूर्ण संख्याएँ शामिल होती हैं। पूर्णांक संख्या सेट को द्वारा दर्शाया जाता है।

वे संख्याएँ जिन्हें हम सामान्यतः भिन्न समझते हैं, परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं। भिन्न एक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के बीच अनुपात के रूप में दर्शाया जाता है, ए तथा ख, फॉर्म का ए / बी, कहां है ख शून्य के बराबर नहीं है। एक भिन्न जिसका अनुपात दाईं ओर शून्य होता है, अपरिभाषित या अनिश्चित होता है। एक परिमेय संख्या को दशमलव रूप में भी दर्शाया जा सकता है। एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा या तो समाप्त होगा या संख्याओं का एक पैटर्न होगा जो दशमलव बिंदु के दाईं ओर दोहराता है। सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि किसी भी पूर्णांक को अनुपात द्वारा दर्शाया जा सकता है

संख्याओं का वह समुच्चय जिसे पूर्णांकों के बीच अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, अपरिमेय कहलाते हैं। जब दशमलव रूप में निरूपित किया जाता है, तो एक अपरिमेय संख्या गैर-समाप्ति होती है और इसमें दशमलव बिंदु के दाईं ओर संख्याओं का एक गैर-दोहराव पैटर्न होता है। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के लिए कोई मानक चिन्ह नहीं है। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय परस्पर अनन्य है, जिसका अर्थ है कि सभी वास्तविक संख्याएँ या तो परिमेय या अपरिमेय होती हैं, लेकिन दोनों नहीं।

वास्तविक संख्या सेट मानों के एक क्रमबद्ध सेट का प्रतिनिधित्व करता है जिसे क्षैतिज रूप से खींची गई संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, जिसमें मान दाईं ओर बढ़ते हैं और बाईं ओर घटते मान होते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या इस रेखा पर एक असतत बिंदु से मेल खाती है, जिसे इसके निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। संख्या रेखा दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्या सेट में सदस्यों की अनंत संख्या होती है।

कुछ गणितीय समीकरण हैं जिनका हल वास्तविक संख्या नहीं है। एक उदाहरण एक सूत्र है जिसमें एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल शामिल होता है। चूँकि दो ऋणात्मक संख्याओं का वर्ग करने पर हमेशा एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, इसलिए समाधान असंभव प्रतीत होता है। सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जानी जाने वाली संख्याओं के समूह में काल्पनिक संख्याएँ शामिल होती हैं जैसे किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल। सम्मिश्र संख्या समुच्चय वास्तविक संख्या समुच्चय से अलग है और इसे मानक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।