त्रिभुज समानता प्रमेय क्या हैं?

समरूप त्रिभुज समान आकार के होते हैं लेकिन आवश्यक नहीं कि समान आकार के हों। जब त्रिभुज समान होते हैं, तो उनमें बहुत से गुण और विशेषताएँ समान होती हैं। त्रिभुज समानता प्रमेय उन स्थितियों को निर्दिष्ट करते हैं जिनके तहत दो त्रिभुज समान होते हैं, और वे प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों से संबंधित होते हैं। जब कोणों और भुजाओं का एक विशिष्ट संयोजन प्रमेयों को संतुष्ट करता है, तो आप त्रिभुजों को समरूप मान सकते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

तीन त्रिभुज समानता प्रमेय हैं जो निर्दिष्ट करते हैं कि किन परिस्थितियों में त्रिभुज समान हैं:

• यदि दो कोण समान हैं, तो तीसरा कोण समान है और त्रिभुज समरूप हैं।
  
• यदि तीनों भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• यदि दो भुजाएँ समान अनुपात में हों और सम्मिलित कोण समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। अवलोकन से यह स्पष्ट हो जाता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होना चाहिए। यदि दो कोण ज्ञात हैं, तो तीसरा ज्ञात कोण 180 से घटाकर ज्ञात किया जा सकता है। यदि दो त्रिभुजों के तीनों कोण समान हों, तो त्रिभुजों का आकार समान होता है और वे समरूप होते हैं।

यदि दो त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ समान हों, तो त्रिभुज न केवल समरूप होते हैं, बल्कि सर्वांगसम या समरूप होते हैं। समरूप त्रिभुजों के लिए, दो त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ समानुपाती होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ ३, ५ और ६ इंच हैं और दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ ९, १५ और १८. हैं इंच, बड़े त्रिभुज की प्रत्येक भुजा छोटे त्रिभुज की किसी एक भुजा की लंबाई की तीन गुनी है त्रिकोण। भुजाएँ एक दूसरे के अनुपात में हैं, और त्रिभुज समान हैं।

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ समानुपाती हों और सम्मिलित कोण, या भुजाओं के बीच का कोण समान हो। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 2 और 3 इंच हैं और दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ 4 और 6. हैं इंच, भुजाएँ समानुपाती हैं, लेकिन त्रिभुज समान नहीं हो सकते क्योंकि दो तिहाई भुजाएँ कोई भी हो सकती हैं लंबाई। यदि सम्मिलित कोण समान है, तो त्रिभुजों की तीनों भुजाएँ समानुपाती होती हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।

यदि तीन त्रिभुज समरूपता प्रमेयों में से एक दो त्रिभुजों के लिए पूरा होता है, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। लेकिन अन्य संभावित साइड-एंगल संयोजन हैं जो समानता की गारंटी दे भी सकते हैं और नहीं भी।

एंगल-एंगल-साइड (एएएस), एंगल-साइड-एंगल (एएसए) या साइड-एंगल-एंगल (एसएए) के रूप में जाने जाने वाले कॉन्फ़िगरेशन के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पक्ष कितने बड़े हैं; त्रिभुज हमेशा समान रहेंगे। ये विन्यास कोण-कोण AA प्रमेय को कम करते हैं, जिसका अर्थ है कि तीनों कोण समान हैं और त्रिभुज समान हैं।

हालांकि, साइड-साइड-एंगल या एंगल-साइड-साइड कॉन्फ़िगरेशन समानता सुनिश्चित नहीं करते हैं। (साइड-साइड-एंगल को साइड-एंगल-साइड के साथ भ्रमित न करें; प्रत्येक नाम में "पक्ष" और "कोण" उस क्रम को संदर्भित करते हैं जिसमें आप पक्षों और कोणों का सामना करते हैं।) कुछ मामलों में, जैसे कि समकोण त्रिभुजों के लिए, यदि दो भुजाएँ समानुपाती हैं और जो कोण शामिल नहीं हैं वे समान हैं, त्रिभुज हैं समान। अन्य सभी मामलों में, त्रिभुज समरूप हो भी सकते हैं और नहीं भी।

समरूप त्रिभुज एक दूसरे में फिट होते हैं, समानांतर भुजाएँ और एक से दूसरे तक पैमाना हो सकता है। जब ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए ऐसी विशेषताओं को लागू किया जाता है तो यह निर्धारित करना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुज समानता प्रमेयों का उपयोग करके दो त्रिभुज समान हैं या नहीं।