पंचकोणीय प्रिज्मों के आयतनों की गणना कैसे करें

ए चश्मे एक सुंदर सजावटी वस्तु, भौतिकी में एक उपकरण या केवल एक आकर्षक ज्यामितीय निर्माण हो सकता है जो उपयोगी भी होता है। कला और प्रकृति में समरूपता के लिए मानव आंख और दिमाग में एक येन है, और वे त्रि-आयामी आकृतियों में आकर्षण पाते हैं जो नियमित, बहुआयामी और संचारित होने के साथ-साथ प्रकाश को प्रतिबिंबित करते हैं।

ए के साथ वस्तुएं बहुत पक्षों का - उदाहरण के लिए, एक डोडेकेहेड्रॉन, जिसकी सतह बनाने वाले 12 समान पांच-पक्षीय चेहरे हैं - देखने में मज़ेदार हैं, लेकिन उनकी ज्यामिति में अंतर्निहित गणित सबसे अच्छा हो सकता है।

एक पांच-तरफा (अर्थात, पंचकोणीय) प्रिज्म उन छात्रों के लिए एक उपयोगी प्रारंभिक बिंदु है जो यह सीखने की कोशिश कर रहे हैं कि नियमित मात्रा की गणना कैसे करें बहुफलक, जिनमें से प्रिज्म कई सामान्य प्रकारों में से एक हैं और अनंत संख्या में सैद्धांतिक प्रकार हैं।

"पॉलीहेड्रा" शायद ग्रीक पौराणिक कथाओं की दुनिया से एक राक्षस की तरह लगता है। वास्तव में, इसका "यूनानी" भाग सही है: शब्द बहुकोणीय आकृति (एकवचन बहुतल) का अर्थ है "कई आधार," और गणित की दुनिया में, आप उनके आयामों और कोणों को देखते हुए उन आधारों के साथ बहुत कुछ कर सकते हैं।

एक पॉलीहेड्रॉन कोई भी त्रि-आयामी ठोस होता है जिसमें समतल फलक होते हैं। जिस चेहरे पर एक पॉलीहेड्रॉन को "आराम" दर्शाया गया है, वह इसका आधार है, जो सभी के समान हो सकता है, कुछ या अन्य चेहरों में से कोई भी नहीं। सबसे सरल उदाहरण है a पिरामिड, जिसके चार त्रिभुजाकार फलक हैं। एक घन के छह समान फलक होते हैं और यह a. का एक विशेष मामला है घनाभ, जो कोई भी छह-पक्षीय आकृति है जिसमें समकोण होता है।

ए चश्मे एक पॉलीहेड्रॉन है जिसे "धक्का" द्वारा बनाया जा सकता था a बहुभुज, या दो-आयामी आकृति जिसमें तीन या अधिक कोण होते हैं, अंतरिक्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा में दो छोर बनाते हैं और उन्हें उतने समानांतर विमानों का उपयोग करके जोड़ते हैं जितने कि प्रिज्म की भुजाएँ होती हैं। सबसे सरल प्रिज्म में दो समबाहु त्रिभुज होते हैं जिनके फलक एक दूसरे के समानांतर होते हैं और तीन समान आयताकार फलकों द्वारा अलग किए गए, जो उनके पड़ोसी की ओर 60-डिग्री के कोण पर उन्मुख हैं चेहरे के।

ए पंचकोणीय प्रिज्म दो अतिरिक्त कोणों और दो और चेहरों को शामिल करने के लिए एक ही चीज़ का विस्तार हुआ। इस प्रकार इसमें दो पंचकोणीय आधार और पाँच आयताकार भुजाएँ शामिल हैं। इसलिए यह एक है हेप्टाहेड्रोन, क्योंकि इसकी सात भुजाएँ हैं (हेप्टा- एक ग्रीक उपसर्ग है जिसका अर्थ है "सात")।

किसी भी सम बहुभुज का क्षेत्रफल (अर्थात वह जिसमें सभी कोण और भुजाएँ समान हों) भुजा की लंबाई के साथ रों सूत्र से पाया जा सकता है:

ए = (एन) (एस²)/[४ तन (१८०/एन)]

एक पंचभुज (n = 5) के लिए, यह कम हो जाता है:

ए = 5s²/2.91 = 1.72s²

यदि आप कार्डबोर्ड से बने एक पंचकोणीय प्रिज्म को "प्रकट" या "समतल" करते हैं, तो आपके पास दो समान पंचकोणीय फलक (प्रिज्म के आधार) और पांच समान आयताकार फलक रह जाएंगे।

प्रत्येक आयत की दो भुजाओं को पंचभुजों की भुजाओं के साथ बाँटा गया है; इस लंबाई को बुलाओ रों. यदि आप अन्य दो पक्षों को लेबल करते हैं (जो कम से कम सिद्धांत रूप में जितना छोटा या जितना लंबा हो सकता है) एच, तो प्रत्येक आयताकार भुजा का क्षेत्रफल है श्री, और सभी पक्षों का संयुक्त क्षेत्रफल है 5sh.

दो पंचकोणीय फलक हैं, इसलिए पंचकोणीय प्रिज्म का कुल क्षेत्रफल है:

ए = 5(श) + 2(1.72s²) = 5(श) + 3.44s²

किसी भी मानक प्रिज्म के लिए, आयतन केवल आधार गुणा ऊँचाई का क्षेत्रफल है। इसका अर्थ है 1.72s का गुणा करना², पिछले समीकरण से एक पंचभुज के क्षेत्रफल का मान, ऊंचाई से एच आप जो भी इकाइयों का उपयोग कर रहे हैं। मात्रा सूत्र है:

वी = 1.72s²एच

उदाहरण के लिए, यदि आपके पास 30 सेमी (0.3 मीटर) की ऊंचाई और 10 सेमी (0.1 मीटर) के पक्षों के साथ एक बड़ा पंचकोणीय प्रिज्म है, तो क्षेत्रफल है:

ए = 5(श) + 2(1.72s²) = 5(0.3 मीटर)(0.1 मीटर) + 2(1.72)(0.1 मीटर)²

= ०.१५ + ०.०३४४ = ०.१८४४ मी²

वॉल्यूम द्वारा दिया गया है:

वी = (1.72)(0.1 मीटर)²(०.३ मीटर) = ०.००५१६ = ५.१६ × १०^-3 म³