ज्यामिति में, एक अष्टभुज आठ भुजाओं वाला एक बहुभुज होता है। एक सम अष्टभुज में आठ समान भुजाएँ और समान कोण होते हैं। नियमित अष्टकोण को आमतौर पर स्टॉप संकेतों से पहचाना जाता है। एक ऑक्टाहेड्रोन एक आठ-पक्षीय पॉलीहेड्रॉन है। एक नियमित अष्टफलक में समान लंबाई के किनारों वाले आठ त्रिभुज होते हैं। यह प्रभावी रूप से दो वर्ग पिरामिड हैं जो उनके ठिकानों पर मिलते हैं।
अष्टकोणीय क्षेत्र सूत्र
लंबाई "ए" के पक्षों के साथ एक नियमित अष्टकोण के क्षेत्र के लिए सूत्र 2(1+sqrt (2))a^2 है, जहां "sqrt" वर्गमूल को इंगित करता है।
व्युत्पत्ति
एक अष्टभुज को 4 आयतों के रूप में देखा जा सकता है, केंद्र में एक वर्ग और कोनों में चार समद्विबाहु त्रिभुज।
वर्ग क्षेत्रफल a^2 का है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार त्रिभुजों की भुजाएँ a, a/sqrt (2) और a/sqrt (2) होती हैं। इसलिए, प्रत्येक का क्षेत्रफल ^2/4 है।
आयतों का क्षेत्रफल a * a/sqrt (2) है।
इन 9 क्षेत्रों का योग 2a^2 (1 + sqrt (2)) है।
ऑक्टाहेड्रोन वॉल्यूम फॉर्मूला
पक्षों "ए" के नियमित ऑक्टाहेड्रोन की मात्रा के लिए सूत्र एक ^ 3 * वर्ग (2)/3 है।
व्युत्पत्ति
चार भुजाओं वाले पिरामिड का क्षेत्रफल आधार * ऊँचाई/3 का क्षेत्रफल होता है। एक नियमित अष्टभुज का क्षेत्रफल इसलिए 2 * आधार * ऊँचाई / 3 है।
आधार = a^2 तुच्छ रूप से।
दो आसन्न कोने चुनें, "F" और "C" कहें। "ओ" केंद्र में है। FOC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका आधार "a" है, इसलिए OC और OF की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार a/sqrt (2) है। अतः ऊँचाई = a/sqrt (2)।
तो एक नियमित अष्टफलक का आयतन 2 * (a^2) * a/sqrt (2)/3 = a^3 * sqrt (2)/3 है।
सतह क्षेत्रफल
नियमित ऑक्टाहेड्रोन की सतह एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल "a" गुणा 8 फलक है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने के लिए, शीर्ष से आधार तक एक रेखा छोड़ें। यह दो समकोण त्रिभुज बनाता है, लंबाई "a" और एक भुजा की लंबाई "a/2" के कर्ण के साथ। इसलिए, तीसरा पक्ष होना चाहिए sqrt[a^2 - a^2/4] = sqrt (3)a/2. तो एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ऊँचाई * आधार/2 = sqrt (3)a/2 * a/2 = sqrt (3)a^2/4 है।
8 भुजाओं के साथ, एक नियमित अष्टफलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 * sqrt (3) * a^2 है।