यूक्लिड ने २,००० साल पहले समानांतर और लंबवत रेखाओं पर चर्चा की थी, लेकिन पूर्ण विवरण के लिए प्रतीक्षा करनी पड़ी जब तक रेने डेसकार्टेस ने 17 वीं में कार्टेशियन निर्देशांक के आविष्कार के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक रूपरेखा तैयार नहीं की सदी। समानांतर रेखाएं कभी नहीं मिलती हैं - जैसा कि यूक्लिड ने बताया - लेकिन लंबवत रेखाएं न केवल मिलती हैं, वे एक विशिष्ट कोण पर मिलती हैं।
ढाल
ढलान एक्स अक्ष के साथ एक रेखा के संबंध का वर्णन करता है। यदि कोई रेखा X अक्ष के समानांतर है, तो रेखा का ढलान 0 है। यदि रेखा को इस तरह से झुकाया जाता है कि वह ऊपर की ओर दौड़ती है, जब मूल से संपर्क किया जाता है, तो इसका एक सकारात्मक ढलान होगा। यदि इसे नीचे की ओर झुकाया जाता है, तो ढाल ऋणात्मक होगी। यदि आप (X1, Y1) और (X2, Y2) लेबल वाली रेखा पर दो बिंदु चुनते हैं, तो रेखा का ढलान (Y1 - Y2) / (X1 - X2) है। दो रेखाओं के ढलानों के बीच का संबंध निर्धारित करता है कि वे समानांतर, लंबवत या कुछ और हैं।
ढलान अवरोधन प्रारूप
एक सीधी रेखा के लिए समीकरण कई स्वरूपों में प्रकट हो सकता है, लेकिन मानक प्रारूप aX + bY = c है जहाँ a, b और c संख्याएँ हैं। यदि आप ढलान और रेखा पर एक बिंदु जानते हैं, तो आप समीकरण Y -Y1 = m (X - X1) लिख सकते हैं, जहां ढलान m है और बिंदु (X1, Y1) है। यदि आप उस बिंदु को लें जहां रेखा Y अक्ष (0, b) को पार करती है, तो सूत्र Y = mX + b बन जाता है। इस रूप को ढलान-अवरोधन रूप कहा जाता है क्योंकि m ढलान है और b वह स्थान है जहाँ रेखा Y अक्ष को पार करती है।
समानांतर रेखाएं
समांतर रेखाओं का ढाल समान होता है। रेखाएँ Y = 3X + 5 और Y = 3X + 7 समानांतर हैं, और वे अपनी पूरी लंबाई में दो इकाइयाँ अलग हैं। यदि दो रेखाओं का ढलान अलग-अलग होता, तो रेखाएँ एक दिशा में एक-दूसरे के पास पहुँचतीं और अंततः वे पार हो जातीं। ध्यान दें कि वाई में एम = एमएक्स + बी वह है जो ढलान को निर्धारित करता है। b केवल यह निर्धारित करता है कि समानांतर रेखाएँ कितनी दूर हैं।
लम्बवत रेखायें
लंबवत रेखाएं 90 डिग्री के कोण पर क्रॉस करती हैं। आप दो रेखाओं के समीकरणों को ढलान अवरोधन रूप में देख सकते हैं और बता सकते हैं कि क्या रेखाएँ लंबवत हैं। यदि दो रेखाओं के ढलान m1 और m2 और m1 = -1/m2 हैं, तो रेखाएँ लंबवत हैं। उदाहरण के लिए, यदि L1 रेखा Y = -3X - 4 है और L2 रेखा Y = 1/3 X + 41 है, L1 L2 पर लंबवत है क्योंकि m1 = -3 और m2 = 1/3 और m1 = -1/ एम २.