एक आवधिक कार्य एक ऐसा कार्य है जो नियमित अंतराल या "अवधि" पर अपने मूल्यों को दोहराता है। सोच यह एक गीत में दिल की धड़कन या अंतर्निहित लय की तरह है: यह एक ही गतिविधि को स्थिर धड़कन पर दोहराता है। एक आवधिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऐसा लगता है जैसे एक ही पैटर्न को बार-बार दोहराया जा रहा है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक आवधिक कार्य नियमित अंतराल या "अवधि" पर अपने मूल्यों को दोहराता है।
आवधिक कार्यों के प्रकार
सबसे प्रसिद्ध आवधिक कार्य त्रिकोणमितीय कार्य हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, सेकेंट, कोसेकेंट, आदि। प्रकृति में आवधिक कार्यों के अन्य उदाहरणों में प्रकाश तरंगें, ध्वनि तरंगें और चंद्रमा के चरण शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक, जब समन्वय तल पर रेखांकन किया जाता है, तो उसी अंतराल पर एक दोहराव पैटर्न बनाता है, जिससे भविष्यवाणी करना आसान हो जाता है।
आवर्त फलन की अवधि ग्राफ़ पर दो "मिलान" बिंदुओं के बीच का अंतराल है। दूसरे शब्दों में, यह दूरी के साथ हैएक्स-अक्ष कि फ़ंक्शन को अपने पैटर्न को दोहराने से पहले यात्रा करना पड़ता है। मूल ज्या और कोज्या फलन की अवधि 2π है, जबकि स्पर्शरेखा की अवधि है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए अवधि और दोहराव को समझने का एक अन्य तरीका उनके बारे में यूनिट सर्कल के संदर्भ में सोचना है। इकाई वृत्त पर, मान आकार में वृद्धि होने पर वृत्त के चारों ओर और उसके चारों ओर घूमते हैं। वह दोहराव गति वही विचार है जो आवधिक कार्य के स्थिर पैटर्न में परिलक्षित होता है। और साइन और कोसाइन के लिए, आपको वृत्त (2π) के चारों ओर एक पूर्ण पथ बनाना होगा, इससे पहले कि मान दोहराना शुरू करें।
आवधिक कार्य के लिए समीकरण
एक आवधिक कार्य को इस रूप के साथ एक समीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
एफ (एक्स + एनपी) = एफ (एक्स)
कहा पेपीअवधि है (एक शून्येतर स्थिरांक) औरनहींएक धनात्मक पूर्णांक है।
उदाहरण के लिए, आप साइन फ़ंक्शन को इस तरह लिख सकते हैं:
\sin (x + 2π) = \sin (x)
नहीं= 1 इस मामले में, और अवधि,पी, एक ज्या फलन के लिए 2π है।
इसके लिए कुछ मानों को आज़माकर इसका परीक्षण करेंएक्स, या ग्राफ़ को देखें: कोई भी चुनेंएक्स-मान, फिर 2π को किसी भी दिशा में ले जाएँएक्स-एक्सिस;आप-मूल्य वही रहना चाहिए।
अब इसे आजमाएं जबनहीं = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
के विभिन्न मूल्यों के लिए गणना करेंएक्स: एक्स = 0, एक्स = π, एक्स= /2, या इसे ग्राफ़ पर जाँचें।
कोटैंजेंट फ़ंक्शन समान नियमों का पालन करता है, लेकिन इसकी अवधि 2π रेडियन के बजाय रेडियन है, इसलिए इसका ग्राफ़ और इसका समीकरण इस तरह दिखता है:
\cot (x + nπ) = \cot (x)
ध्यान दें कि स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य आवधिक होते हैं, लेकिन वे निरंतर नहीं होते हैं: उनके ग्राफ़ में "विराम" होते हैं।