गणित में, किसी संख्या का व्युत्क्रम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है उदाहरण के लिए, चर x का व्युत्क्रम 1/ हैएक्स, चूंकि
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
इस उदाहरण में, 1/एक्सकी पारस्परिक पहचान हैएक्स, और इसके विपरीत। त्रिकोणमिति में, समकोण त्रिभुज में 90-डिग्री वाले कोणों में से किसी एक को साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा नामक अनुपातों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। पारस्परिक सर्वसमिकाओं की अवधारणा को लागू करते हुए, गणितज्ञ तीन और अनुपातों को परिभाषित करते हैं। उनके नाम कोसेकेंट, सेकेंट और कोटैंजेंट हैं। Cosecant साइन की पारस्परिक पहचान है, secant कोसाइन की और cotangent की स्पर्शरेखा है।
पारस्परिक पहचान कैसे निर्धारित करें
एक कोण पर विचार करेंθ, जो एक समकोण त्रिभुज में दो गैर-90-डिग्री कोणों में से एक है। यदि कोण के सम्मुख त्रिभुज की भुजा की लंबाई "ख, "कोण के निकट और कर्ण के विपरीत पक्ष की लंबाई है"ए"और कर्ण की लंबाई है"आर, "हम इन लंबाई के संदर्भ में तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय अनुपातों को परिभाषित कर सकते हैं।
\text{sine} θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosine}θ = \cos = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{स्पर्शरेखा}θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
पाप की पारस्परिक पहचानθ1/sin के बराबर होना चाहिए, क्योंकि वह संख्या है, जब पाप से गुणा किया जाता हैθ, पैदा करता है 1. cos के लिए भी यही सच हैθऔर तनुθ. गणितज्ञ इन व्युत्क्रमों को क्रमशः cosecant, secant और cotangent नाम देते हैं। परिभाषा से:
\text{cosecant}θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secant}θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{cotangent }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
आप इन पारस्परिक सर्वसमिकाओं को समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के रूप में निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं:
\csc = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
निम्नलिखित संबंध किसी भी कोण के लिए सत्य हैंθ:
\sin θ × \csc = 1 \\ \cos × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
दो अन्य त्रिकोणमितीय पहचान
यदि आप किसी कोण की ज्या और कोज्या जानते हैं, तो आप स्पर्श रेखा व्युत्पन्न कर सकते हैं। यह सच है क्योंकि
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ और } \cos = \frac{a}{r} \text{, इसलिए } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
चूँकि यह tan की परिभाषा है, निम्नलिखित पहचान, जिसे भागफल पहचान के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार है:
\frac{\sin θ}{\cos } = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin } = \cot
पाइथागोरस की पहचान इस तथ्य से होती है कि, भुजाओं वाले किसी भी समकोण त्रिभुज के लिएएतथाखऔर कर्णआर, निम्नलिखित सत्य है:ए2 + ख2 = आर2. साइन और कोसाइन के संदर्भ में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने और अनुपातों को परिभाषित करने पर, आप निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:
\sin^2 θ + \cos^2 = 1
जब आप उपरोक्त अभिव्यक्ति में साइन और कोसाइन के लिए पारस्परिक पहचान डालते हैं तो दो अन्य महत्वपूर्ण संबंध होते हैं:
\tan^2 θ + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2