ज्यादातर लोग याद करते हैंपाइथागोरस प्रमेयशुरुआती ज्यामिति से — यह एक क्लासिक है। आईटी इस
ए^2 + बी^2 = सी^2
कहां हैए, खतथासीएक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं (सीकर्ण है)। खैर, इस प्रमेय को त्रिकोणमिति के लिए भी फिर से लिखा जा सकता है!
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
पाइथागोरस सर्वसमिकाएं ऐसे समीकरण हैं जो पाइथागोरस प्रमेय को त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में लिखते हैं।
मुख्यपाइथागोरस की पहचानidentहैं:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ इसके उदाहरण हैंत्रिकोणमितीय पहचान: समानताएं (समीकरण) जो त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करती हैं।
क्या फर्क पड़ता है?
पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ जटिल ट्रिगर कथनों और समीकरणों को सरल बनाने में बहुत उपयोगी हो सकती हैं। उन्हें अभी याद करें, और आप सड़क पर अपना काफी समय बचा सकते हैं!
ट्रिगर फ़ंक्शंस की परिभाषाओं का उपयोग करके सबूत
यदि आप ट्रिगर फ़ंक्शंस की परिभाषाओं के बारे में सोचते हैं तो ये पहचान साबित करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए साबित करें कि
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
याद रखें कि साइन की परिभाषा विपरीत पक्ष / कर्ण है, और वह कोसाइन आसन्न पक्ष / कर्ण है।
इसलिए
\sin^2 = \frac{\text{विपरीत}^2} {\text{hypotenuse}^2}
तथा
\cos^2 = \frac{\text{आसन्न}^2} {\text{hypotenuse}^2}
आप इन दोनों को आसानी से एक साथ जोड़ सकते हैं क्योंकि हर समान हैं।
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{विपरीत}^2 + \text{आसन्न}^2} {\text{hypotenuse}^2}
अब पाइथागोरस प्रमेय पर एक और नज़र डालें। इससे लगता हैए2 + ख2 = सी2. ध्यान रखें किएतथाखविपरीत और आसन्न पक्षों के लिए खड़े हो जाओ, औरसीकर्ण के लिए खड़ा है।
आप दोनों पक्षों को विभाजित करके समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैंसी2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
जबसेए2 तथाख2 विपरीत और आसन्न भुजाएँ हैं औरसी2 कर्ण है, आपके पास ऊपर वाले के बराबर कथन है (विपरीत)2 + आसन्न2) / कर्ण2. और साथ काम करने के लिए धन्यवादए, ख, सीऔर पाइथागोरस प्रमेय, अब आप देख सकते हैं कि यह कथन 1 के बराबर है!
इसलिए
\frac{ \पाठ{विपरीत}^2 + \पाठ{आसन्न}^2} {\पाठ{कर्ण}^2} = 1
और इसलिए:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(और इसे ठीक से लिखना बेहतर है: पाप2(θ) + कोस2(θ) = 1).
पारस्परिक पहचान
आइए कुछ मिनट बिताकर देखेंपारस्परिक पहचानभी। याद रखें किपारस्परिकएक को आपकी संख्या ("ओवर") से विभाजित किया जाता है - जिसे व्युत्क्रम भी कहा जाता है।
चूँकि कोसेकेंट ज्या का व्युत्क्रम है:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
आप साइन की परिभाषा का उपयोग करके कोसेकेंट के बारे में भी सोच सकते हैं। उदाहरण के लिए, साइन = विपरीत पक्ष / कर्ण। इसका व्युत्क्रम वह अंश होगा जो उल्टा-पुल्टा फ़्लिप होगा, जो कर्ण/विपरीत पक्ष है।
इसी तरह, कोज्या का व्युत्क्रम सेकेंट है, इसलिए इसे परिभाषित किया गया है
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ या } \frac{\text{hypotenuse}}{\text{आसन्न पक्ष}}
और स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम कोटैंजेंट है, इसलिए
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{आसन्न पक्ष}}{\text{विपरीत पक्ष}}
सेकेंट और कोसेकेंट का उपयोग करते हुए पाइथागोरस की पहचान के प्रमाण बहुत हद तक साइन और कोसाइन के समान हैं। आप "पैरेंट" समीकरण का उपयोग करके समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं, sin2(θ) + कोस2(θ) = 1. दोनों पक्षों को cos. से विभाजित करें2(θ) पहचान प्राप्त करने के लिए 1 + tan2(θ) = सेकंड2(θ). दोनों पक्षों को पाप से विभाजित करें2(θ) पहचान प्राप्त करने के लिए 1 + cot2(θ) = सीएससी2(θ).
शुभकामनाएँ और पाइथागोरस की तीन पहचानों को याद रखना सुनिश्चित करें!