कैसे बताएं कि एक संख्या तर्कसंगत है

एक परिमेय संख्या, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, कोई भी संख्या जिसे अनुपात या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संख्या 6 परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 6/1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, हालांकि यह असामान्य होगा। 4.5 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे 9/2 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हालाँकि, गणित में कई महत्वपूर्ण संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, और इन्हें अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इनमें पाई, या शामिल है, जो एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है और 3.141592654... के बराबर है; और 5 का वर्गमूल, 2.236067977 के बराबर... अनुगामी बिंदु दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों की एक अनंत, गैर-दोहराई जाने वाली श्रृंखला को इंगित करते हैं।

कोई संख्या परिमेय है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए कई विधियाँ मौजूद हैं।

कोई भी संख्या जिसे भिन्न या अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, एक परिमेय संख्या होती है। इसलिए किन्हीं दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल एक परिमेय संख्या होती है, क्योंकि इसे भी भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5/7 और 13/120 दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, और उनका गुणनफल, 65/840 भी एक परिमेय संख्या है। (६५/१४० घटकर १३/२८ हो गया है, लेकिन यह वर्तमान उद्देश्यों के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।)

यह जितना प्रतीत हो सकता है उससे कम तुच्छ है, क्योंकि यह भूलना आसान है कि पूर्ण संख्याएँ (... −3, −2, −1, 0, 1, 2, और इसी तरह) को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे, −3/1, −2/1, और इसी तरह।

महत्वपूर्ण रूप से, कुछ संख्याएँ जिनमें दशमलव चिह्न के दाईं ओर अनंत संख्याएँ होती हैं, परिमेय होती हैं; कुंजी यह है कि इसमें एक दोहराव अनुक्रम शामिल होना चाहिए। उदाहरण के लिए

दोहराए जाने वाले खंड को अक्सर दोहराए जाने वाले हिस्से पर एक बार द्वारा दर्शाया जाता है:

अधिकांश संख्याएँ जिन्हें वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है वे अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। अपवाद तथाकथित पूर्ण वर्ग हैं, जो पूर्ण संख्याओं के वर्ग हैं (0 .)² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, आदि)।