वर्गमूल अक्सर गणित और विज्ञान की समस्याओं में पाए जाते हैं, और किसी भी छात्र को इन सवालों से निपटने के लिए वर्गमूल की मूल बातें समझनी होंगी। वर्गमूल पूछते हैं, "कौन सी संख्या, जब स्वयं से गुणा की जाती है, तो निम्नलिखित परिणाम देता है," और इस तरह उन्हें बाहर निकालने के लिए आपको संख्याओं के बारे में थोड़ा अलग तरीके से सोचने की आवश्यकता है। हालाँकि, आप वर्गमूल के नियमों को आसानी से समझ सकते हैं और उनसे जुड़े किसी भी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, चाहे उन्हें प्रत्यक्ष गणना की आवश्यकता हो या केवल सरलीकरण की।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक वर्गमूल आपसे पूछता है कि कौन सी संख्या, जब स्वयं से गुणा की जाती है, तो चिह्न के बाद परिणाम देती है। तो 9 = 3 और √16 = 4। तकनीकी रूप से प्रत्येक रूट का सकारात्मक और नकारात्मक उत्तर होता है, लेकिन ज्यादातर मामलों में सकारात्मक उत्तर वह होता है जिसमें आप रुचि रखते हैं।
आप सामान्य संख्याओं की तरह ही वर्गमूल का गुणनखंड कर सकते हैं, इसलिएअब = √ए √ख, या 6 = √2√3।
स्क्वायर रूट क्या है?
वर्गमूल किसी संख्या के "वर्ग" के विपरीत होते हैं, या इसे अपने आप से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, तीन वर्ग नौ है (32 = 9), तो नौ का वर्गमूल तीन होता है। प्रतीकों में, यह है
\वर्ग{9} = 3
"√" प्रतीक आपको किसी संख्या का वर्गमूल लेने के लिए कहता है, और आप इसे अधिकांश कैलकुलेटर पर पा सकते हैं।
याद रखें कि प्रत्येक संख्या में वास्तव में होता हैदोवर्गमूल। तीन गुणा तीन बराबर नौ, लेकिन ऋणात्मक तीन गुणा ऋणात्मक तीन भी नौ के बराबर होता है, इसलिए
3^2 = (-3)^2 = 9 \पाठ{ और } \sqrt{9} = ±3
± के साथ "प्लस या माइनस" के लिए खड़ा है। कई मामलों में, आप संख्याओं के ऋणात्मक वर्गमूल को अनदेखा कर सकते हैं, लेकिन कभी-कभी यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक संख्या के दो मूल होते हैं।
आपको किसी संख्या का "घनमूल" या "चौथा मूल" लेने के लिए कहा जा सकता है। घनमूल वह संख्या है जिसे स्वयं से दो बार गुणा करने पर मूल संख्या के बराबर हो जाती है। चौथा मूल वह संख्या है जिसे तीन बार से गुणा करने पर मूल संख्या के बराबर होती है। वर्गमूलों की तरह, ये संख्याओं की घात लेने के ठीक विपरीत हैं। तो, ३3 = 27, और इसका अर्थ है कि 27 का घनमूल 3 है, या
\sqrt[3]{27} = 3
"∛" चिन्ह उसके बाद आने वाली संख्या के घनमूल को दर्शाता है। जड़ों को कभी-कभी भिन्नात्मक शक्तियों के रूप में भी व्यक्त किया जाता है, इसलिए
\sqrt{x} = x^{1/2} \text{ और } \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
वर्गमूलों को सरल बनाना
सबसे चुनौतीपूर्ण कार्यों में से एक जो आपको वर्गमूलों के साथ करना पड़ सकता है, वह है बड़े वर्गमूलों को सरल बनाना, लेकिन इन प्रश्नों से निपटने के लिए आपको बस कुछ सरल नियमों का पालन करना होगा। आप वर्गमूलों को उसी तरह से गुणनखंडित कर सकते हैं जैसे आप साधारण संख्याओं का गुणनखंड करते हैं। तो उदाहरण के लिए 6 = 2 × 3, इसलिए
\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}
बड़ी जड़ों को सरल बनाने का अर्थ है चरणबद्ध तरीके से गुणनखंड करना और वर्गमूल की परिभाषा को याद रखना। उदाहरण के लिए, 132 एक बड़ी जड़ है, और यह देखना मुश्किल हो सकता है कि क्या करना है। हालाँकि, आप इसे 2 से विभाज्य आसानी से देख सकते हैं, इसलिए आप लिख सकते हैं
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{66}
हालाँकि, 66 भी 2 से विभाज्य है, इसलिए आप लिख सकते हैं:
\sqrt{2} \sqrt{66} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33}
इस स्थिति में, किसी संख्या के वर्गमूल को दूसरे वर्गमूल से गुणा करने पर केवल मूल संख्या प्राप्त होती है (वर्गमूल की परिभाषा के कारण), इसलिए
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33} = 2 \sqrt{33}
संक्षेप में, आप निम्न नियमों का उपयोग करके वर्गमूल को सरल बना सकते हैं:
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b} \\ \sqrt{a} × \sqrt{a} = a
वर्गमूल क्या होता है...
ऊपर दी गई परिभाषाओं और नियमों का उपयोग करके, आप अधिकांश संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। विचार करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
8. का वर्गमूल
यह सीधे नहीं पाया जा सकता क्योंकि यह किसी पूर्ण संख्या का वर्गमूल नहीं है। हालाँकि, सरलीकरण के नियमों का उपयोग करने से यह मिलता है:
\sqrt{8} = \sqrt{2} \sqrt{4} = 2 \sqrt{2}
4. का वर्गमूल
यह 4 के साधारण वर्गमूल का उपयोग करता है, जो 4 = 2 है। कैलकुलेटर का उपयोग करके समस्या को ठीक से हल किया जा सकता है, और √8 = 2.8284...
12. का वर्गमूल
उसी दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, 12 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें। जड़ को कारकों में विभाजित करें, और फिर देखें कि क्या आप इसे फिर से कारकों में विभाजित कर सकते हैं। इसे एक अभ्यास समस्या के रूप में करने का प्रयास करें, और फिर नीचे दिए गए समाधान को देखें:
\sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}
फिर, इस सरलीकृत अभिव्यक्ति का उपयोग या तो आवश्यकतानुसार समस्याओं में किया जा सकता है, या कैलकुलेटर का उपयोग करके सटीक रूप से गणना की जा सकती है। एक कैलकुलेटर दिखाता है कि
\sqrt{12} = 2\sqrt{3} = ३.४६४१….
20. का वर्गमूल
20 का वर्गमूल इसी प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:
\sqrt{20} = \sqrt{2} \sqrt{10} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{5}=2 \sqrt{5} = 4.4721….
32. का वर्गमूल
अंत में, उसी दृष्टिकोण का उपयोग करके 32 के वर्गमूल से निपटें:
\sqrt{32} = \sqrt{4} \sqrt{8}
यहां, ध्यान दें कि हमने पहले से ही 8 के वर्गमूल की गणना 2 as2 के रूप में की है, और √4 = 2, इसलिए:
\sqrt{32} = 2×2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} = 5.657...
एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल
हालांकि वर्गमूल की परिभाषा का अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल नहीं होना चाहिए (क्योंकि किसी भी संख्या का गुणा किया जाता है परिणाम के रूप में अपने आप में एक सकारात्मक संख्या देता है), गणितज्ञों ने बीजगणित में समस्याओं के हिस्से के रूप में उनका सामना किया और a. तैयार किया समाधान। "काल्पनिक" संख्यामैंका अर्थ "माइनस 1 का वर्गमूल" है और किसी भी अन्य नकारात्मक जड़ों को. के गुणज के रूप में व्यक्त किया जाता हैमैं. इसलिए
\sqrt{-9} = \sqrt{9} × i = ±3i
ये समस्याएं अधिक चुनौतीपूर्ण हैं, लेकिन आप इन्हें परिभाषा के आधार पर हल करना सीख सकते हैंमैंऔर जड़ों के लिए मानक नियम।
उदाहरण प्रश्न और उत्तर
आवश्यकतानुसार सरलीकरण करके और फिर निम्नलिखित मूलों की गणना करके वर्गमूलों की अपनी समझ का परीक्षण करें:
\sqrt{50} \\ \sqrt{36} \\ \sqrt{70} \\ \sqrt{24} \\ \sqrt{27}
नीचे दिए गए उत्तरों को देखने से पहले इन्हें हल करने का प्रयास करें:
\sqrt{50} = \sqrt{2} \sqrt{25} = 5 \sqrt{2} = 7.071 \\ \sqrt{36} = 6 \\ \sqrt{70} = \sqrt{7} \sqrt{ 10} = \sqrt{7} \sqrt{2} \sqrt{5} = 8.637 \\ \sqrt{24} = \sqrt{2} \sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{6} = 2 \sqrt{6} = 4.899 \\ \sqrt{27 } = \sqrt{3} \sqrt{9} = 3 \sqrt{3} = 5.196
