विशेष समकोण त्रिभुजों को कैसे हल करें

गणित और ज्यामिति में, एक कौशल जो विशेषज्ञों को दिखावा करने वालों से अलग करता है, वह है चाल और शॉर्टकट का ज्ञान। जब आप उन्हें सीखने में खर्च करते हैं, तो आप समस्याओं का समाधान करते समय बचाए गए समय का भुगतान करते हैं। उदाहरण के लिए, दो विशेष समकोण त्रिभुजों को जानना सार्थक है, जिन्हें एक बार पहचानने के बाद, हल करने के लिए एक तस्वीर है। विशेष रूप से दो त्रिभुज 30-60-90 और 45-45-90 हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

दो विशेष समकोण त्रिभुजों में 30, 60 और 90 डिग्री और 45, 45 और 90 डिग्री के आंतरिक कोण होते हैं।

त्रिभुज त्रि-पक्षीय बहुभुज होते हैं जिनके आंतरिक कोण 180 डिग्री तक जुड़ते हैं। समकोण त्रिभुज एक विशेष स्थिति है जिसमें एक कोण 90 डिग्री का होता है, इसलिए परिभाषा के अनुसार अन्य दो कोणों का योग 90 तक होना चाहिए। ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य त्रिकोणमितीय फलन समकोण त्रिभुजों के आंतरिक कोणों के साथ-साथ उनकी भुजाओं की लंबाई की गणना करने के तरीके प्रदान करते हैं। समकोण त्रिभुजों के लिए एक और अपरिहार्य गणना उपकरण पाइथागोरस प्रमेय है, जो बताता है कि कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो के वर्गों के योग के बराबर है पक्ष, या

जब आप किसी भी प्रकार के समकोण त्रिभुज की समस्या पर काम कर रहे होते हैं, तो आपको आमतौर पर कम से कम एक कोण और एक भुजा दी जाती है और शेष कोणों और भुजाओं की गणना करने के लिए कहा जाता है। उपरोक्त पायथागॉरियन सूत्र का उपयोग करके, आप किसी भी पक्ष की लंबाई की गणना कर सकते हैं यदि आपको अन्य दो दिए गए हैं। विशेष समकोण त्रिभुजों का एक बड़ा लाभ यह है कि उनकी भुजाओं की लंबाई का अनुपात हमेशा समान होता है, इसलिए यदि आपको केवल एक दिया जाए तो आप सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। साथ ही, यदि आपको केवल एक भुजा दी गई है और त्रिभुज विशेष है, तो आप कोणों के मान भी ज्ञात कर सकते हैं।

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, 30-60-90 समकोण त्रिभुज में 30, 60 और 90 डिग्री के आंतरिक कोण होते हैं। परिणामस्वरूप, इस त्रिभुज की भुजाएँ 1: 2: 3 के अनुपात में आती हैं, जहाँ 1 और √3 विपरीत और आसन्न भुजाओं की लंबाई हैं और 2 कर्ण है। ये संख्याएँ हमेशा एक साथ चलती हैं: यदि आप एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को हल करते हैं और पाते हैं कि वे पैटर्न, 1, 2, √3 के अनुरूप हैं, तो आप जानते हैं कि कोण 30, 60 और 90 डिग्री होंगे। इसी तरह, यदि आपको 30 में से एक कोण दिया गया है, तो आप जानते हैं कि अन्य दो 60 और 90 हैं, और यह भी कि पक्षों का अनुपात 1: 2: 3 होगा।

45-45-90 त्रिभुज 30-60-90 की तरह काम करता है, सिवाय इसके कि दो कोण समान हैं, जैसे कि विपरीत और आसन्न भुजाएँ हैं। इसमें 45, 45 और 90 डिग्री के आंतरिक कोण हैं। त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 1: 1: 2 है, जिसमें कर्ण का अनुपात √2 है। अन्य दो भुजाएँ एक दूसरे की लंबाई के बराबर हैं। यदि आप एक समकोण त्रिभुज पर काम कर रहे हैं और आंतरिक कोणों में से एक 45 डिग्री है, तो आप an. में जानते हैं तत्काल कि शेष कोण भी 45 डिग्री होना चाहिए, क्योंकि पूरे त्रिभुज को 180. तक जोड़ना होगा डिग्री।

दो विशेष समकोण त्रिभुजों को हल करते समय, ध्यान रखें कि यहअनुपातपक्षों का जो मायने रखता है, न कि उनका माप निरपेक्ष रूप से। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज की भुजाएँ 1 फ़ुट, और 1 फ़ुट, और 2 फ़ुट मापती हैं, इसलिए आप जानते हैं कि यह 45-45-90 त्रिभुज है और इसमें 45, 45 और 90 डिग्री के आंतरिक कोण हैं।

लेकिन आप उस समकोण त्रिभुज का क्या करते हैं जिसकी भुजाएँ 17 फ़ुट और √17 फ़ुट मापी जाती हैं? पक्षों के अनुपात प्रमुख हैं। चूँकि दोनों भुजाएँ समान हैं, एक दूसरे के साथ अनुपात 1:1 है, और क्योंकि यह एक समकोण त्रिभुज है, अन्य पक्षों में से किसी एक के साथ कर्ण का अनुपात 1:√2 है। समान अनुपात आपको बताते हैं कि भुजाएँ 1, 1, 2 हैं, जो केवल 45-45-90 विशेष त्रिभुज से संबंधित है। कर्ण को खोजने के लिए, 17 को √2 से गुणा करके √34 फीट प्राप्त करें।