किसी फ़ंक्शन की अवधि का पता कैसे लगाएं

जब आप त्रिकोणमितीय फलनों का रेखांकन करते हैं, तो आप पाते हैं कि वे आवर्ती हैं; अर्थात्, वे ऐसे परिणाम उत्पन्न करते हैं जो पूर्वानुमेय रूप से दोहराए जाते हैं। किसी दिए गए फ़ंक्शन की अवधि खोजने के लिए, आपको प्रत्येक के साथ कुछ परिचित होना चाहिए और उनके उपयोग में भिन्नताएं अवधि को कैसे प्रभावित करती हैं। एक बार जब आप पहचान लेते हैं कि वे कैसे काम करते हैं, तो आप अलग-अलग ट्रिगर फ़ंक्शन चुन सकते हैं और बिना किसी परेशानी के अवधि पा सकते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

ज्या और कोज्या फलन की अवधि 2π (pi) रेडियन या 360 डिग्री है। स्पर्शरेखा फलन के लिए, अवधि π रेडियन या 180 डिग्री है।

जब आप उन्हें ग्राफ़ पर प्लॉट करते हैं, तो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन नियमित रूप से दोहराई जाने वाली तरंग आकृतियाँ उत्पन्न करते हैं। किसी भी लहर की तरह, आकृतियों में चोटियों (उच्च बिंदु) और गर्त (निम्न बिंदु) जैसी पहचानने योग्य विशेषताएं होती हैं। अवधि आपको लहर के एक पूर्ण चक्र की कोणीय "दूरी" बताती है, जिसे आमतौर पर दो आसन्न चोटियों या कुंडों के बीच मापा जाता है। इस कारण से, गणित में, आप किसी फ़ंक्शन की अवधि को कोण इकाइयों में मापते हैं। उदाहरण के लिए, शून्य के कोण से शुरू होकर, साइन फ़ंक्शन एक चिकना वक्र उत्पन्न करता है जो π / 2 रेडियन (90 डिग्री) पर अधिकतम 1 तक बढ़ जाता है, रेडियन (180 डिग्री) पर शून्य को पार करता है, 3π / 2 रेडियन (270 डिग्री) पर न्यूनतम −1 तक घट जाता है और 2π रेडियन (360 डिग्री) पर फिर से शून्य पर पहुंच जाता है डिग्री)। इस बिंदु के बाद, चक्र अनिश्चित काल तक दोहराता है, समान विशेषताओं और मूल्यों का उत्पादन करता है जैसे कोण सकारात्मक में बढ़ता है

ज्या और कोज्या फलन दोनों में 2π रेडियन की अवधि होती है। कोसाइन फ़ंक्शन ज्या के समान है, सिवाय इसके कि यह π / 2 रेडियन द्वारा साइन से "आगे" है। ज्या फलन शून्य का मान शून्य डिग्री पर लेता है, जबकि कोसाइन एक ही बिंदु पर 1 होता है।

आप ज्या को कोज्या से विभाजित करके स्पर्शरेखा फलन प्राप्त करते हैं। इसकी अवधि रेडियन या 180 डिग्री है। स्पर्शरेखा का ग्राफ (एक्स) कोण शून्य पर शून्य है, ऊपर की ओर घटता है, π / 4 रेडियन (45 डिग्री) पर 1 तक पहुंचता है, फिर ऊपर की ओर घटता है जहां यह π / 2 रेडियन पर शून्य से विभाजित बिंदु तक पहुंचता है। फ़ंक्शन तब ऋणात्मक अनंत बन जाता है और नीचे एक दर्पण छवि का पता लगाता है आप अक्ष, −1 को 3π / 4 रेडियन पर पहुंचता है, और. को पार करता है आप रेडियन पर अक्ष। हालांकि इसमें एक्स जिन मूल्यों पर यह अपरिभाषित हो जाता है, स्पर्शरेखा फलन की अभी भी एक निश्चित अवधि होती है।

तीन अन्य ट्रिगर फलन, कोसेकेंट, सेकेंट और कोटैंजेंट, क्रमशः साइन, कोसाइन और टेंगेंट के व्युत्क्रम हैं। दूसरे शब्दों में, कोसेकेंट (एक्स) 1 / पाप है (एक्स), सेकेंड (एक्स) = 1 / क्योंकि (एक्स) और खाट (एक्स) = 1 / तन (एक्स). हालांकि उनके ग्राफ़ में अपरिभाषित बिंदु होते हैं, लेकिन इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन की अवधि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के समान होती है।

गुणा करके एक्स एक त्रिकोणमितीय फलन में एक नियतांक द्वारा, आप इसकी अवधि को छोटा या लंबा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन sin (2_x_) के लिए, अवधि उसके सामान्य मान का आधा है, क्योंकि तर्क एक्स दुगना है। यह / 2 के बजाय π / 4 रेडियन पर अपने पहले अधिकतम तक पहुंचता है, और π रेडियन में एक पूर्ण चक्र पूरा करता है। अन्य कारक जिन्हें आप आमतौर पर ट्रिगर फ़ंक्शंस के साथ देखते हैं, उनमें चरण और आयाम में परिवर्तन शामिल हैं, जहां चरण एक परिवर्तन का वर्णन करता है ग्राफ पर प्रारंभिक बिंदु, और आयाम न्यूनतम पर नकारात्मक चिह्न को अनदेखा करते हुए, फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। व्यंजक, 4 × sin (2_x_ + π), उदाहरण के लिए, 4 गुणक के कारण, अपने अधिकतम 4 तक पहुँच जाता है, और अवधि में स्थिरांक जोड़े जाने के कारण ऊपर की ओर की बजाय नीचे की ओर वक्रता से शुरू होता है। ध्यान दें कि न तो 4 और न ही स्थिरांक फ़ंक्शन की अवधि को प्रभावित करते हैं, केवल इसका प्रारंभिक बिंदु और अधिकतम और न्यूनतम मान।