एक समांतर चतुर्भुज के छह गुण

समांतर चतुर्भुज चार-पक्षीय आकार होते हैं जिनमें समानांतर पक्षों के दो जोड़े होते हैं। आयत, वर्ग और समचतुर्भुज सभी को समांतर चतुर्भुज के रूप में वर्गीकृत किया गया है। क्लासिक समांतर चतुर्भुज एक तिरछी आयत की तरह दिखता है, लेकिन किसी भी चार-पक्षीय आकृति जिसमें समानांतर और सर्वांगसम जोड़े होते हैं, को समानांतर चतुर्भुज के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज में छह प्रमुख गुण होते हैं जो उन्हें अन्य आकृतियों से अलग करते हैं।

सभी समांतर चतुर्भुजों के विपरीत पक्ष - आयत और वर्ग सहित - सर्वांगसम होने चाहिए। समांतर चतुर्भुज ABCD को देखते हुए, यदि भुजा AB समांतर चतुर्भुज के शीर्ष पर है और 9 सेंटीमीटर है, तो समांतर चतुर्भुज के तल पर भुजा CD भी 9 सेंटीमीटर होनी चाहिए। यह पक्षों के दूसरे सेट के लिए भी सही है; यदि भुजा AC 12 सेंटीमीटर है, तो भुजा BD, जो AC के विपरीत है, भी 12 सेंटीमीटर होनी चाहिए।

सभी समांतर चतुर्भुजों के विपरीत कोण - वर्गों और आयतों सहित - सर्वांगसम होने चाहिए। समांतर चतुर्भुज एबीसीडी में, यदि कोण बी और सी विपरीत कोनों में स्थित हैं - और कोण बी 60 डिग्री है - कोण सी भी 60 डिग्री होना चाहिए। अगर कोण ए 120 डिग्री है - कोण डी, जो विपरीत कोण ए है - भी 120 डिग्री होना चाहिए।

अनुपूरक कोण दो कोणों का एक युग्म है जिसका माप 180 डिग्री तक होता है। ऊपर दिए गए समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण B और C विपरीत हैं और 60 डिग्री हैं। इसलिए, कोण ए - जो कोण बी और सी के लगातार है - 120 डिग्री (120 + 60 = 180) होना चाहिए। कोण डी - जो कोण बी और सी के लिए भी लगातार है - भी 120 डिग्री है। इसके अतिरिक्त, यह गुण इस नियम का समर्थन करता है कि सम्मुख कोण सर्वांगसम होने चाहिए, क्योंकि कोण A और D सर्वांगसम पाए जाते हैं।

हालांकि छात्रों को सिखाया जाता है कि समकोण वाली चार भुजा वाली आकृतियाँ - 90 डिग्री - या तो वर्ग होती हैं या आयत, वे समांतर चतुर्भुज भी हैं, लेकिन दो सर्वांगसम कोणों के दो जोड़े के बजाय चार सर्वांगसम कोणों के साथ कोण। समांतर चतुर्भुज में, यदि कोणों में से एक समकोण है, तो सभी चार कोण समकोण होने चाहिए। यदि चार भुजाओं वाली आकृति में एक समकोण हो और कम से कम एक भिन्न माप का कोण हो, तो यह समांतर चतुर्भुज नहीं है; यह एक समलम्ब है।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समांतर चतुर्भुज के एक विपरीत पक्ष से दूसरी ओर खींचे जाते हैं। समांतर चतुर्भुज ABCD में, इसका अर्थ है कि एक विकर्ण शीर्ष A से शीर्ष D तक खींचा गया है और दूसरा शीर्ष B से शीर्ष C तक खींचा गया है। विकर्णों को खींचते समय, छात्र पाएंगे कि वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, या अपने मध्य बिंदुओं पर मिलते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं। विकर्ण स्वयं एक दूसरे के सर्वांगसम नहीं होंगे जब तक कि समांतर चतुर्भुज भी एक वर्ग या समचतुर्भुज न हो।

समांतर चतुर्भुज ABCD में, यदि शीर्ष A से शीर्ष D तक एक विकर्ण खींचा जाता है, तो दो सर्वांगसम त्रिभुज, ACD और ABD बनते हैं। शीर्ष B से शीर्ष C तक विकर्ण खींचते समय भी यही बात लागू होती है। दो और सर्वांगसम त्रिभुज ABC और BCD बनाए गए हैं। जब दोनों विकर्ण खींचे जाते हैं, तो चार त्रिभुज बनते हैं, जिनमें से प्रत्येक का मध्य बिंदु E होता है। हालाँकि, ये चार त्रिभुज केवल तभी सर्वांगसम होते हैं जब समांतर चतुर्भुज एक वर्ग हो।