एक समबाहु त्रिभुज के विपरीत जिसकी तीन समान भुजाएँ और कोण होते हैं, एक समद्विबाहु जिसकी दो समान भुजाएँ होती हैं, या एक अपने 90-डिग्री कोण के साथ समकोण त्रिभुज, एक विषमकोण त्रिभुज में यादृच्छिक लंबाई की तीन भुजाएँ और तीन यादृच्छिक कोण होते हैं। यदि आप इसका क्षेत्रफल जानना चाहते हैं, तो आपको कुछ माप करने होंगे। यदि आप एक तरफ की लंबाई और उस तरफ की लंबवत दूरी को विपरीत कोण पर माप सकते हैं, तो आपके पास क्षेत्र की गणना करने के लिए पर्याप्त जानकारी है। यदि आप तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो क्षेत्रफल की गणना करना भी संभव है। कोणों में से किसी एक के मान के साथ-साथ इसे बनाने वाली दो भुजाओं की लंबाई का निर्धारण भी आपको क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
आधार b और ऊँचाई h वाले स्केलीन त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 bh है। यदि आप तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो आप ऊँचाई ज्ञात किए बिना हीरोन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। यदि आप एक कोण का मान और इसे बनाने वाली दो भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो आप कोसाइन के नियम का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं और फिर क्षेत्रफल की गणना के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र
एक यादृच्छिक त्रिभुज पर विचार करें। इसके चारों ओर एक आयत लिखना संभव है जो इसके आधार के रूप में किसी एक पक्ष का उपयोग करता है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) और केवल तीसरे कोण के शीर्ष को छूता है। इस आयत की लंबाई इसे बनाने वाले त्रिभुज की भुजा की लंबाई के बराबर होती है, जिसे आधार कहते हैं (ख). इसकी चौड़ाई आधार से शीर्ष तक की लम्बवत दूरी के बराबर होती है, जिसे ऊँचाई कहते हैं।एच) त्रिकोण के।
आपके द्वारा अभी-अभी खींचे गए आयत का क्षेत्रफल बराबर हैख × एच. हालाँकि, यदि आप त्रिभुज की रेखाओं की जाँच करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे आधार से शीर्ष तक लंबवत रेखा द्वारा बनाए गए आयतों के युग्म को ठीक आधे में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, त्रिभुज के अंदर का क्षेत्रफल उसके बाहर के क्षेत्रफल का आधा या 1/2. हैबिहार. किसी भी त्रिभुज के लिए:
\पाठ{क्षेत्र} = \frac{1}{2} \पाठ{आधार} × \पाठ{ऊंचाई}
हीरोन का सूत्र
गणितज्ञ सदियों से तीन ज्ञात भुजाओं वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना जानते हैं। वे हेरॉन के फॉर्मूला का उपयोग करते हैं, जिसका नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम पर रखा गया है। इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको पहले अर्ध-परिधि ज्ञात करनी होगी (रों) त्रिभुज का, जो आप तीनों भुजाओं को जोड़कर और परिणाम को दो से विभाजित करके करते हैं। भुजाओं वाले त्रिभुज के लिएए, खतथासी, आधा परिधि
s = \frac{1}{2}(a + b + c)
एक बार जब आप जानते हैंरों, आप इस सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं:
\text{क्षेत्र} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}
कोसाइन के नियम का उपयोग करना
तीन कोणों वाले त्रिभुज पर विचार करेंए, खतथासी. तीनों भुजाओं की लंबाई हैंए, खतथासी. भुजा a विपरीत कोण हैए, साइडखविपरीत कोण हैख, और पक्षसीविपरीत कोण हैसी. यदि आप किसी एक कोण को जानते हैं - उदाहरण के लिए, कोणसी- और इसे बनाने वाले दो पक्ष - इस मामले में,एतथाख- आप इस सूत्र का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई की गणना कर सकते हैं:
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos (सी)
एक बार जब आप का मूल्य जान लेते हैंसी, आप हीरोन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।
