क्या आपने कभी सोचा है कि साइन और कोसाइन जैसे त्रिकोणमितीय कार्य कैसे संबंधित हैं? वे दोनों त्रिभुजों में भुजाओं और कोणों की गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं, लेकिन संबंध इससे कहीं आगे जाता है।कोफ़ंक्शन पहचानहमें विशिष्ट सूत्र दें जो दिखाता है कि साइन और कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट, और सेकेंट और कोसेकेंट के बीच कैसे परिवर्तित किया जाए।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक कोण की ज्या उसके पूरक की कोज्या के बराबर होती है और इसके विपरीत। यह अन्य कॉफ़ंक्शन के लिए भी सच है।
यह याद रखने का एक आसान तरीका है कि कौन से फ़ंक्शन कोफ़ंक्शन हैं, यह है कि दो ट्रिगर फ़ंक्शन हैंसह-कार्ययदि उनमें से किसी एक के सामने "co-" उपसर्ग है। इसलिए:
- साइन औरसीओसाइन हैंसीओकार्य।
- स्पर्शरेखा औरसीओस्पर्शरेखा हैंसीओकार्य।
- secant औरसीओsecant areसीओकार्य।
हम इस परिभाषा का उपयोग करके सह-कार्यों के बीच आगे और पीछे की गणना कर सकते हैं: कोण के फ़ंक्शन का मान पूरक के सह-कार्य के मान के बराबर होता है।
यह जटिल लगता है, लेकिन सामान्य रूप से किसी फ़ंक्शन के मूल्य के बारे में बात करने के बजाय एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करें।ज्याकोण का के बराबर होता है
कोज्याइसके पूरक के। और यही बात अन्य सह-कार्यों के लिए भी जाती है: किसी कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के कोटेंजेंट के बराबर होती है।याद रखें: दो कोण होते हैंपूरक की तरहअगर वे 90 डिग्री तक जोड़ते हैं।
डिग्री में सह-कार्य पहचान:
(ध्यान दें कि 90° -एक्सहमें कोण का पूरक देता है।)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (९०° - x) \\ \sec (x) = \csc (९०° - x)\\ \csc (x) = \sec (९०° - x)
रेडियन में सह-कार्य पहचान
याद रखें कि हम चीजों को के रूप में भी लिख सकते हैंरेडियंस, जो कोणों को मापने के लिए SI इकाई है। नब्बे डिग्री π/2 रेडियन के समान है, इसलिए हम इस तरह से कोफ़ंक्शन पहचान भी लिख सकते हैं:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - एक्स\बिग)
कोफ़ंक्शन आइडेंटिटी प्रूफ
यह सब अच्छा लगता है, लेकिन हम कैसे साबित कर सकते हैं कि यह सच है? कुछ उदाहरण त्रिकोणों पर इसका परीक्षण करने से आपको इसके बारे में आत्मविश्वास महसूस करने में मदद मिल सकती है, लेकिन एक अधिक कठोर बीजगणितीय प्रमाण भी है। आइए sine और cosine के लिए सह-कार्य सर्वसमिका सिद्ध करें। हम रेडियन में काम करने जा रहे हैं, लेकिन यह डिग्री का उपयोग करने जैसा ही है।
सबूत:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
सबसे पहले, अपनी स्मृति में इस सूत्र पर वापस पहुँचें, क्योंकि हम इसे अपने प्रमाण में उपयोग करने जा रहे हैं:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
समझ गया? ठीक है। आइए अब सिद्ध करें: पाप (एक्स) = cos (π/2 - x)।
हम cos (π/2 − .) को फिर से लिख सकते हैंएक्स) इस तरह:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( एक्स)
क्योंकि हम जानते हैं
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ और } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
इसलिए
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
टा-दा! अब इसे कोसाइन से सिद्ध करते हैं!
सबूत:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
अतीत से एक और धमाका: यह सूत्र याद है?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
हम इसका इस्तेमाल करने वाले हैं। आइए अब साबित करें:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
हम पाप को फिर से लिख सकते हैं (π/2 −एक्स) इस तरह:
\शुरू {गठबंधन} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
क्योंकि हम जानते हैं
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ और } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
तो हमें मिलता है
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
कोफ़ंक्शन कैलकुलेटर
अपने आप कोफ़ंक्शन के साथ काम करने वाले कुछ उदाहरणों का प्रयास करें। लेकिन अगर आप फंस जाते हैं, तो मैथ सेलेब्रिटी के पास एक कोफ़ंक्शन कैलकुलेटर होता है जो कॉफ़ंक्शन समस्याओं के चरण-दर-चरण समाधान दिखाता है।
हैप्पी कैलकुलेशन!