त्रिभुज भुजाओं की लंबाई के नियम

यूक्लिडियन ज्यामिति, स्कूल में सिखाई जाने वाली मूल ज्यामिति, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के बीच कुछ संबंधों की आवश्यकता होती है। कोई केवल तीन यादृच्छिक रेखा खंड नहीं ले सकता है और एक त्रिभुज बना सकता है। रेखाखंडों को त्रिभुज असमानता प्रमेयों को पूरा करना होता है। अन्य प्रमेय जो त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंधों को परिभाषित करते हैं, वे हैं पाइथागोरस प्रमेय और कोसाइन का नियम।

पहले त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। इसका अर्थ यह है कि आप एक त्रिभुज नहीं बना सकते जिसकी भुजाओं की लंबाई 2, 7 और 12 हो, उदाहरण के लिए, क्योंकि 2 + 7 12 से कम है। इसके लिए एक सहज अनुभव प्राप्त करने के लिए, कल्पना करें कि पहले 12 सेमी लंबा एक रेखा खंड खींचे। अब 12 सेमी खंड के दो सिरों से जुड़े 2 सेमी और 7 सेमी लंबे दो अन्य रेखाखंडों के बारे में सोचें। यह स्पष्ट है कि दो अंत खंडों को मिलना संभव नहीं होगा। उन्हें कम से कम 12 सेमी तक जोड़ना होगा।

किसी त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के आर-पार होती है। यह एक और त्रिभुज असमानता प्रमेय है और यह सहज ज्ञान युक्त है। आप इससे विभिन्न निष्कर्ष निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिभुज में, सबसे लंबी भुजा को अधिक कोण के आर-पार होना चाहिए। इसका विलोम भी सत्य है। त्रिभुज में सबसे बड़ा कोण वह होता है जो सबसे लंबी भुजा के पार होता है।

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि, एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग (समकोण से पार की भुजा) अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। अतः यदि कर्ण की लंबाई c है और अन्य दो भुजाओं की लंबाई a और b है, तो c^2 = a^2 + b^2 है। यह एक प्राचीन प्रमेय है जिसे हजारों वर्षों से जाना जाता है और इसका उपयोग बिल्डरों और गणितज्ञों द्वारा युगों से किया जाता रहा है।

कोसाइन का नियम पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकृत संस्करण है जो सभी त्रिभुजों पर लागू होता है, न कि केवल समकोण वाले त्रिभुजों पर। इस नियम के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, और लंबाई c की भुजा के आर-पार कोण C है, तो c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC। आप देख सकते हैं कि जब C 90 डिग्री होता है, cosC = 0 और कोसाइन का नियम पाइथागोरस प्रमेय में कम हो जाता है।