एक बहुभुज कोई भी बंद द्वि-आयामी आकृति है जिसमें 3 या अधिक सीधी (घुमावदार नहीं) भुजाएँ होती हैं, और 12-पक्षीय बहुभुज को डोडेकेगन के रूप में जाना जाता है। एक नियमित डोडेकेगन समान पक्षों और कोणों वाला होता है, और इसके क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करना संभव है। एक अनियमित डोडेकेगन में अलग-अलग लंबाई और अलग-अलग कोण होते हैं। छह-बिंदु वाला तारा एक उदाहरण है। एक अनियमित 12-पक्षीय आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने का कोई आसान तरीका नहीं है जब तक कि आप इसे एक ग्राफ़ पर प्लॉट नहीं करते हैं और प्रत्येक कोने के निर्देशांक पढ़ सकते हैं। यदि नहीं, तो सबसे अच्छी रणनीति आकृति को नियमित आकृतियों में विभाजित करना है जिसके लिए आप क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।
एक नियमित 12-पक्षीय बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना
एक नियमित डोडेकागन के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको इसका केंद्र ढूंढना होगा, और ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका इसके चारों ओर एक चक्र लिखना है जो इसके प्रत्येक कोने को छूता है। वृत्त का केंद्र डोडेकागन का केंद्र है, और आकृति के केंद्र से इसके प्रत्येक कोने तक की दूरी केवल वृत्त की त्रिज्या है (आर). आकृति की 12 भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई समान है, इसलिए इसे द्वारा निरूपित करेंरों.
आपको एक और माप की आवश्यकता है, और वह है प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु से 12-पक्षीय आकार के केंद्र तक खींची गई लंबवत रेखा की लंबाई। इस रेखा को एपोथेम कहा जाता है। इसकी लंबाई को द्वारा निरूपित करेंम. यह त्रिज्या रेखाओं द्वारा निर्मित प्रत्येक खंड को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। आप नहीं जानतेम, लेकिन आप इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पा सकते हैं।
१२ त्रिज्या रेखाएँ आपके द्वारा डोडेकागन के चारों ओर लिखे गए वृत्त को १२ बराबर वर्गों में विभाजित करती हैं, इसलिए आकृति के केंद्र में, प्रत्येक पंक्ति उसके बगल में कोण के साथ ३० डिग्री है। त्रिज्या रेखाओं द्वारा निर्मित १२ खंडों में से प्रत्येक कर्ण के साथ समकोण त्रिभुजों की एक जोड़ी से बना हैआरऔर 15 डिग्री का एक कोण। कोण से सटी भुजा हैम, तो आप इसे r और कोण की ज्या का उपयोग करके पा सकते हैं।
\sin (15) = \frac{m}{r} \, \text{ और }m \\ m = r × \sin (15) के लिए हल करें
अब आप प्रत्येक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जो दोडेकोगन में अंकित है, क्योंकि आप आधार की लंबाई जानते हैं - जो कि हैरों- और ऊंचाई,म. प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल है
\begin{aligned} \text{area} &= \frac{1}{2} × \text{आधार} × \text{ऊंचाई} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (एस × आर × \sin (15)) \end{संरेखित}
ऐसे १२ खंड हैं, इसलिए नियमित १२-पक्षीय आकार का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए १२ से गुणा करें:
\text{ नियमित डोडेकागन का क्षेत्रफल} = 6 × (s × r × \sin (15))
एक अनियमित डोडेकागन का क्षेत्रफल ज्ञात करना
एक अनियमित द्विदिशभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का कोई सूत्र नहीं है, क्योंकि भुजाओं और कोणों की लंबाई समान नहीं होती है। केंद्र का पता लगाना और भी मुश्किल है। सबसे अच्छी रणनीति यह है कि आकृति को नियमित आकृतियों में विभाजित किया जाए, प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना की जाए और उन्हें जोड़ा जाए।
यदि आकृति को ग्राफ़ पर प्लॉट किया गया है, और आप कोने के निर्देशांक जानते हैं, तो एक सूत्र है जिसका उपयोग आप क्षेत्रफल की गणना के लिए कर सकते हैं। यदि प्रत्येक बिंदु (नहीं) द्वारा परिभाषित किया गया है (एक्सनहीं, आपनहीं), और आप 12 बिंदुओं की एक श्रृंखला प्राप्त करने के लिए, या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त क्रम में आकृति के चारों ओर जाते हैं, क्षेत्र है:
\पाठ{क्षेत्र} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}