गणित में उत्पाद शब्द का क्या अर्थ है?

एक उत्पाद गुणन के गणितीय संचालन को अंजाम देने का परिणाम है। जब आप संख्याओं को एक साथ गुणा करते हैं, तो आपको उनका गुणनफल प्राप्त होता है। अन्य बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ जोड़, घटाव और भाग हैं, और उनके परिणाम क्रमशः योग, अंतर और भागफल कहलाते हैं। प्रत्येक ऑपरेशन में विशेष गुण होते हैं जो यह नियंत्रित करते हैं कि संख्याओं को कैसे व्यवस्थित और संयोजित किया जा सकता है। गुणन के लिए, इन गुणों से अवगत होना महत्वपूर्ण है ताकि आप सही उत्तर प्राप्त करने के लिए संख्याओं को गुणा कर सकें और गुणन को अन्य संक्रियाओं के साथ जोड़ सकें।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

गणित में गुणनफल का अर्थ दो या दो से अधिक संख्याओं को एक साथ गुणा करने का परिणाम है। सही उत्पाद प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित गुण महत्वपूर्ण हैं:

• संख्याओं का क्रम मायने नहीं रखता।
• संख्याओं को कोष्ठक के साथ समूहित करने से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
• दो संख्याओं को गुणक से गुणा करना और फिर उन्हें जोड़ना गुणक से उनके योग को गुणा करने के समान है।
• 1 से गुणा करने पर एक संख्या अपरिवर्तित रहती है।
  

एक संख्या और एक या अधिक अन्य संख्याओं का गुणनफल वह मान होता है जो संख्याओं को एक साथ गुणा करने पर प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, 2, 5 और 7 का गुणनफल है

जबकि विशिष्ट संख्याओं को एक साथ गुणा करके प्राप्त उत्पाद हमेशा समान होता है, उत्पाद अद्वितीय नहीं होते हैं। 6 और 4 का गुणनफल हमेशा 24 होता है, लेकिन 2 और 12, या 8 और 3 का गुणनफल भी ऐसा ही होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप उत्पाद प्राप्त करने के लिए किन संख्याओं को गुणा करते हैं, गुणन संक्रिया में चार गुण होते हैं जो इसे इससे अलग करते हैं अन्य बुनियादी अंकगणितीय संचालन, जोड़, घटाव और भाग इनमें से कुछ गुणों को साझा करते हैं, लेकिन प्रत्येक में एक अद्वितीय है मेल।

कम्यूटेशन का मतलब है कि एक ऑपरेशन की शर्तों को चारों ओर बदल दिया जा सकता है, और संख्याओं के क्रम से उत्तर पर कोई फर्क नहीं पड़ता। जब आप गुणन द्वारा उत्पाद प्राप्त करते हैं, तो आप जिस क्रम में संख्याओं को गुणा करते हैं, वह कोई मायने नहीं रखता। जोड़ का भी यही हाल है। आप 16 प्राप्त करने के लिए 8 × 2 गुणा कर सकते हैं, और आपको वही उत्तर 2 × 8 से मिलेगा। इसी प्रकार, 8 + 2 10 देता है, वही उत्तर 2 + 8 देता है।

घटाव और भाग में कम्यूटेशन का गुण नहीं होता है। यदि आप संख्याओं का क्रम बदलते हैं, तो आपको एक अलग उत्तर मिलेगा। उदाहरण के लिए,

घटाव के लिए,

भाग और घटाव क्रमविनिमेय संक्रिया नहीं हैं।

गणित में वितरण का अर्थ है कि किसी योग को गुणक से गुणा करने पर वही उत्तर मिलता है जो गुणक द्वारा योग की अलग-अलग संख्याओं को गुणा करने और फिर जोड़ने पर मिलता है। उदाहरण के लिए,

गुणा करने से पहले जोड़ने से वही उत्तर मिलता है जो गुणक को जोड़े जाने वाली संख्याओं पर बांटने और फिर जोड़ने से पहले गुणा करने पर मिलता है।

विभाजन और घटाव में वितरण संपत्ति नहीं होती है। उदाहरण के लिए,

विभाजित करने से पहले घटाना, घटाने से पहले विभाजित करने से भिन्न उत्तर देता है।

साहचर्य गुण का अर्थ है कि यदि आप दो से अधिक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रिया कर रहे हैं, तो आप उत्तर को प्रभावित किए बिना दो संख्याओं के आसपास कोष्ठक लगा सकते हैं या जोड़ सकते हैं। उत्पाद और रकम में साहचर्य गुण होते हैं जबकि अंतर और भागफल नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं 12, 4 और 2 पर अंकगणितीय संक्रिया की जाती है, तो योग की गणना इस प्रकार की जा सकती है

एक उत्पाद उदाहरण है

लेकिन भागफल के लिए

और मतभेदों के लिए

गुणा और जोड़ में साहचर्य गुण होते हैं जबकि विभाजन और घटाव में नहीं होता है।

यदि आप किसी संख्या और परिचालन पहचान पर अंकगणितीय संक्रिया करते हैं, तो संख्या अपरिवर्तित रहती है। सभी चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं की पहचान होती है, लेकिन वे समान नहीं होती हैं। घटाव और जोड़ के लिए, पहचान शून्य है। गुणन और भाग के लिए, पहचान एक है।

उदाहरण के लिए, अंतर के लिए, 8 - 0 = 8। संख्या समान रहती है। योग 8 + 0 = 8 के लिए भी यही सच है। एक गुणनफल के लिए, 8 × 1 = 8 और भागफल के लिए, 8 1 = 8। उत्पादों और रकम में समान मूल गुण होते हैं, सिवाय इसके कि उनकी अलग-अलग परिचालन पहचान होती है। नतीजतन, गुणन और उसके उत्पादों में गुणों का एक अनूठा सेट होता है जिसे आपको सही उत्तर प्राप्त करने के लिए जानना होगा।