गणित में, फ़ंक्शन का डोमेन आपको बताता है कि. के किन मानों के लिएएक्सफ़ंक्शन मान्य है। इसका मतलब है कि उस डोमेन के भीतर कोई भी मान फ़ंक्शन में काम करेगा, जबकि डोमेन के बाहर आने वाला कोई भी मान नहीं होगा। कुछ फ़ंक्शन (जैसे रैखिक फ़ंक्शन) में ऐसे डोमेन होते हैं जिनमें सभी संभावित मान शामिल होते हैं includeएक्स. अन्य (जैसे समीकरण जहांएक्सहर के भीतर प्रकट होता है) के कुछ मूल्यों को बाहर करेंएक्सशून्य से विभाजित करने से बचने के लिए। स्क्वायर रूट फ़ंक्शंस में कुछ अन्य फ़ंक्शंस की तुलना में अधिक प्रतिबंधित डोमेन होते हैं, क्योंकि परिणाम के "वास्तविक" होने के लिए वर्ग रूट (रेडिकैंड के रूप में जाना जाता है) के भीतर का मान एक सकारात्मक संख्या होना चाहिए।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक वर्गमूल फलन का प्रांत के सभी मान होते हैंएक्सजिसके परिणामस्वरूप एक रेडिकैंड होता है जो शून्य के बराबर या उससे अधिक होता है।
वर्गमूल कार्य
एक वर्गमूल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसमें एक मूलांक होता है, जिसे आमतौर पर वर्गमूल कहा जाता है। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि यह कैसा दिखता है,
एफ (एक्स) = \sqrt{x}
एक मूल वर्गमूल फलन माना जाता है। इस मामले में,
एक्सऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती; परिणाम के वास्तविक होने के लिए सभी रेडिकल शून्य के बराबर या उससे अधिक होने चाहिए। यदि आप "काल्पनिक" संख्याएं शामिल कर सकते हैं (के साथमैं−1) के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो चीजें और अधिक जटिल हो जाती हैं, लेकिन ज्यादातर मामलों में आपको केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करने की आवश्यकता होती है।इसका मतलब यह नहीं है कि सभी वर्गमूल कार्य एक ही संख्या के वर्गमूल के समान सरल हैं। अधिक जटिल वर्गमूल कार्यों में मूलक के भीतर गणनाएं हो सकती हैं, गणनाएं जो मूलांक को संशोधित करती हैं परिणाम या यहां तक कि एक बड़े फ़ंक्शन के हिस्से के रूप में एक कट्टरपंथी (जैसे कि अंश या भाजक में दिखाई देना) समीकरण)। इन अधिक जटिल कार्यों के उदाहरण इस तरह दिखते हैं
f (x) = 2\sqrt{x + 3} \text{ या } g (x) = \sqrt{x - 4}
स्क्वायर रूट फ़ंक्शंस के डोमेन
वर्गमूल फलन के प्रांत की गणना करने के लिए, असमानता को हल करेंएक्स0 साथएक्सरेडिकैंड द्वारा प्रतिस्थापित। ऊपर दिए गए उदाहरणों में से एक का उपयोग करके, आप का डोमेन पा सकते हैं
एफ (एक्स) = 2\वर्ग {एक्स + 3}
रेडिकैंड सेट करके (एक्स+ 3) बराबरएक्सअसमानता में। यह आपको असमानता देता है
एक्स + 3 0
जिसे आप दोनों पक्षों से 3 घटाकर हल कर सकते हैं। यह आपको x −3 का हल देता है, जिसका अर्थ है कि आपका डोमेन. के सभी मान हैएक्स−3 से अधिक या उसके बराबर। आप इसे [ -3, as ) के रूप में भी लिख सकते हैं, बाईं ओर के ब्रैकेट से पता चलता है कि −3 एक विशिष्ट सीमा है जबकि दाईं ओर का कोष्ठक दर्शाता है कि नहीं है। चूँकि मूलांक ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए आपको केवल धनात्मक या शून्य मानों की गणना करनी होगी।
स्क्वायर रूट फ़ंक्शंस की रेंज
किसी फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित एक अवधारणा इसकी सीमा है। जबकि किसी फ़ंक्शन का डोमेन. के सभी मान होते हैंएक्सजो फ़ंक्शन के भीतर मान्य हैं, इसकी सीमा. के सभी मान हैंआपजिसमें फ़ंक्शन मान्य है। इसका मतलब है कि किसी फ़ंक्शन की सीमा उस फ़ंक्शन के सभी मान्य आउटपुट के बराबर होती है। आप सेटिंग करके इसकी गणना कर सकते हैंआपफ़ंक्शन के बराबर, और फिर किसी भी मान को खोजने के लिए हल करना जो मान्य नहीं है।
वर्गमूल फलनों के लिए, इसका अर्थ यह है कि फलन का परिसर सभी मानों का उत्पादन होता है जबएक्सपरिणाम एक रेडिकैंड में होता है जो शून्य के बराबर या उससे अधिक होता है। अपने वर्गमूल फ़ंक्शन के डोमेन की गणना करें, और फिर रेंज निर्धारित करने के लिए अपने डोमेन के मान को फ़ंक्शन में इनपुट करें। यदि आपका कार्य है
एफ (एक्स) = \sqrt{x - 2}
और आप डोमेन को. के सभी मानों के रूप में परिकलित करते हैंएक्स2 से अधिक या उसके बराबर, फिर आपके द्वारा डाला गया कोई भी मान्य मान
वाई = \वर्ग {एक्स - 2}
आपको एक परिणाम देगा जो शून्य से अधिक या उसके बराबर है। इसलिए आपकी सीमा हैआप० या [०, )।