एक अनुक्रम और एक श्रृंखला के बीच अंतर क्या है?

जबकि अंग्रेजी शब्द "अनुक्रम" और "श्रृंखला" के समान अर्थ हैं, गणित में वे पूरी तरह से अलग अवधारणाएं हैं। एक अनुक्रम एक परिभाषित क्रम में रखी गई संख्याओं की एक सूची है जबकि एक श्रृंखला ऐसी संख्याओं की सूची का योग है। संख्याओं की अनंत सूचियों पर आधारित अनुक्रमों सहित कई प्रकार के क्रम हैं। विभिन्न अनुक्रमों और संबंधित श्रृंखलाओं में अलग-अलग गुण होते हैं और आश्चर्यजनक परिणाम दे सकते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

अनुक्रम दिए गए नियमों के अनुसार एक निश्चित क्रम में रखी गई संख्याओं की सूची है। किसी क्रम के संगत श्रंखला उस क्रम की संख्याओं का योग होती है। श्रृंखला अंकगणित हो सकती है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला की संख्याओं के बीच एक निश्चित अंतर है, या ज्यामितीय, जिसका अर्थ है कि एक निश्चित कारक है। अनंत श्रृंखला की कोई अंतिम संख्या नहीं होती है लेकिन फिर भी कुछ शर्तों के तहत एक निश्चित राशि हो सकती है।

सामान्य अनुक्रम अंकगणित या ज्यामितीय हैं। एक अंकगणितीय अनुक्रम में, अनुक्रम की प्रत्येक संख्या या पद पिछले पद से समान मात्रा में भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक अंकगणितीय अनुक्रम अंतर 2 है, तो संबंधित अंकगणितीय अनुक्रम 1, 3, 5... यदि अंतर -3 है, तो अनुक्रम 4, 1, -2 हो सकता है... अंकगणितीय अनुक्रम प्रारंभिक संख्या और अंतर द्वारा परिभाषित किया गया है।

ज्यामितीय अनुक्रमों के लिए, शब्द एक कारक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 2 के गुणनखंड वाला अनुक्रम 2, 4, 8 हो सकता है... और 0.75 के गुणनखंड वाला एक क्रम 32, 24, 18... ज्यामितीय अनुक्रम प्रारंभिक संख्या और कारक द्वारा परिभाषित किया गया है।

श्रृंखला प्रकार उस अनुक्रम पर निर्भर करते हैं जिसे जोड़ा जा रहा है। एक अंकगणितीय श्रृंखला एक अंकगणितीय अनुक्रम की शर्तों को जोड़ती है, और एक ज्यामितीय श्रृंखला एक ज्यामितीय अनुक्रम जोड़ती है।

अनुक्रम और संबंधित श्रृंखला एक निश्चित संख्या या अनंत संख्या पर आधारित हो सकते हैं। एक परिमित अनुक्रम में एक प्रारंभिक संख्या, एक अंतर या कारक और एक निश्चित कुल संख्या होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर आठ पदों वाला पहला अंकगणितीय क्रम 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 होगा। ऊपर छह पदों वाला पहला ज्यामितीय अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, 64 होगा। संबंधित अंकगणितीय श्रृंखला का मान 64 और ज्यामितीय श्रृंखला 126 होगा। अनंत अनुक्रमों में निश्चित संख्या में शब्द नहीं होते हैं, और उनकी शर्तें अनंत तक बढ़ सकती हैं, शून्य तक घट सकती हैं या एक निश्चित मान तक पहुंच सकती हैं। संगत श्रृंखला में अनंत, शून्य या निश्चित परिणाम भी हो सकते हैं।

यदि शब्दों की संख्या बढ़ने पर योग अनंत के करीब पहुंचता है तो अनंत श्रृंखला भिन्न होती है। एक अनंत श्रृंखला अभिसारी होती है यदि इसका योग एक गैर-अनंत मान जैसे शून्य या किसी अन्य निश्चित संख्या तक पहुंचता है। श्रृंखला अभिसरण हैं यदि अंतर्निहित अनुक्रम की शर्तें तेजी से शून्य तक पहुंचती हैं।

अनंत अनुक्रम 1, 2, 4 के पदों को जोड़ने वाली श्रृंखला... भिन्न है क्योंकि अनुक्रम की शर्तें बढ़ती रहती हैं, जैसे-जैसे शब्दों की संख्या बढ़ती है, योग अनंत मान तक पहुंचने की अनुमति देता है। श्रृंखला 1, 0.5, 0.25... अभिसरण है क्योंकि शब्द तेजी से बहुत छोटे हो जाते हैं।

जबकि अनुक्रम संख्याओं की सूची का आदेश दिया जाता है और श्रृंखला योग होती है, दोनों महत्वपूर्ण उपकरण हो सकते हैं संख्याओं के सेट का मूल्यांकन करना, और अभिसरण या विचलन के गुणों का वास्तविक जीवन हो सकता है निहितार्थ। एक विचलन श्रृंखला अक्सर एक अस्थिर स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है जबकि एक अभिसरण श्रृंखला का अक्सर मतलब होता है कि एक प्रक्रिया या संरचना स्थिर होगी।