गुणन के साहचर्य और क्रमविनिमेय गुण

गुणा और जोड़ संबंधित गणितीय कार्य हैं। एक ही संख्या को कई बार जोड़ने पर वही परिणाम प्राप्त होगा जो संख्या को जितनी बार जोड़ा गया था, उतनी बार गुणा करने पर, ताकि 2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6। इस संबंध को आगे गुणन के साहचर्य और कम्यूटेटिव गुणों और जोड़ के साहचर्य और कम्यूटेटिव गुणों के बीच समानता द्वारा चित्रित किया गया है। ये गुण इस बात से संबंधित हैं कि जोड़ या गुणा संख्या में संख्याओं का क्रम समीकरण के परिणाम को नहीं बदलता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ये गुण केवल जोड़ और गुणा पर लागू होते हैं, न कि घटाव या भाग, जहां समीकरण में संख्याओं के क्रम को बदलने से परिणाम।

दो संख्याओं को गुणा करते समय, समीकरण में संख्याओं के क्रम को उलटने से एक ही उत्पाद प्राप्त होता है। इसे गुणन के क्रमविनिमेय गुण के रूप में जाना जाता है और यह योग के साहचर्य गुण के समान है। उदाहरण के लिए, तीन को छह से गुणा करना छह गुणा तीन के बराबर होता है (3 × 6 = 6 × 3 = 18)। बीजगणितीय शब्दों में व्यक्त, क्रमविनिमेय गुण है:

या केवल

गुणन की साहचर्य संपत्ति को गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है और जोड़ की सहयोगी संपत्ति के समानांतर। दो से अधिक संख्याओं को गुणा करने पर, संख्याओं के गुणा करने के क्रम को बदलने या उन्हें कैसे समूहीकृत किया जाता है, परिणाम एक ही गुणनफल में होते हैं। उदाहरण के लिए, (3 × 4) × 2 = 12 × 2 = 24। गुणन के क्रम को 3 × (4 × 2) में बदलने से 3 × 8 = 24 प्राप्त होता है। बीजीय शब्दों में, साहचर्य संपत्ति को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:

गुणन के साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों के संदर्भ में योग के साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों को याद रखना सहायक हो सकता है। जोड़ के क्रमविनिमेय गुण के अनुसार, दो संख्याओं को एक साथ जोड़ने पर एक ही योग प्राप्त होता है चाहे वे आगे या पीछे जोड़े जाएं। दूसरे शब्दों में, दो जोड़ छह बराबर आठ और छह जमा दो भी आठ (2 + 6 = 6 + 2 = 8) के बराबर होता है और गुणन के क्रमविनिमेय गुण की याद दिलाता है। फिर से, इसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है

जोड़ के साहचर्य गुण में, जिस क्रम में संख्याओं के तीन या अधिक समुच्चयों को एक साथ जोड़ा जाता है, संख्याओं का योग नहीं बदलता है। इस प्रकार, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. जैसे गुणन के साहचर्य गुण में, क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता है क्योंकि 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6। बीजगणितीय रूप से, योग का साहचर्य गुण है