यदि आप कुछ समय से गणित कर रहे हैं, तो संभवत: आप घातांकों से मिले होंगे। एक घातांक एक संख्या है, जिसे आधार कहा जाता है, इसके बाद एक अन्य संख्या आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट में लिखी जाती है। दूसरी संख्या घातांक या घात है। यह आपको बताता है कि आधार को अपने आप से कितनी बार गुणा करना है। उदाहरण के लिए, 82 16 प्राप्त करने के लिए 8 को अपने आप से दो बार गुणा करने का अर्थ है, और 103 मतलब १० × १० × १० = १,०००। जब आपके पास नकारात्मक घातांक होते हैं, तो ऋणात्मक घातांक नियम यह निर्देश देता है कि, आधार को संकेतित संख्या से गुणा करने के बजाय, आप आधार को उस संख्या में 1 से विभाजित करते हैं। इसलिए
8^{ -2} = \frac{1}{8 × 8} = \frac{1}{64} \text{ और } 10^{-3} = \frac{1}{10 × 10 × 10} = \frac{1}{1,000} = 0.001
सामान्यीकृत व्यक्त करना संभव है ऋणात्मक घातांक लिखकर परिभाषा:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
ऋणात्मक घातांक से गुणा करने के लिए, उस घातांक को घटाएं। ऋणात्मक घातांक से भाग देने के लिए, उस घातांक को जोड़ें।
नकारात्मक घातांक गुणा करना
यह ध्यान में रखते हुए कि आप घातांकों को तभी गुणा कर सकते हैं जब उनका आधार समान हो, दो संख्याओं को घातांक से गुणा करने का सामान्य नियम घातांक को जोड़ना है। उदाहरण के लिए:
x^5 × x^3 = x^{(5 +3)} = x^8
यह देखने के लिए कि यह सच क्यों है, ध्यान दें किएक्स5 बोले तो (एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स) तथाएक्स3 बोले तो (एक्स × एक्स × एक्स). जब आप इन पदों को गुणा करते हैं, तो आपको प्राप्त होता है (एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स × एक्स) = एक्स8.
एक ऋणात्मक घातांक का अर्थ है उस घात के आधार को 1 में विभाजित करना। इसलिए
x^5 × x^{ -3} = x^5 × \frac{1}{x^3} = (x × x × x x × x) × \frac{1}{x × x × x}
यह एक साधारण विभाजन है। आप (x × x) या x. को छोड़कर x में से तीन को रद्द कर सकते हैं2. दूसरे शब्दों में, जब आप किसी ऋणात्मक घातांक से गुणा करते हैं, तब भी आप घातांक जोड़ते हैं, लेकिन चूंकि यह ऋणात्मक है, यह इसे घटाने के बराबर है। सामान्य रूप में,
x^n × x^{-m} = x^{(n - m)}
नकारात्मक घातांक विभाजित करना
ऋणात्मक घातांक की परिभाषा के अनुसार:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
जब आप किसी ऋणात्मक घातांक से भाग देते हैं, तो यह उसी घातांक से गुणा करने के बराबर होता है, केवल धनात्मक। यह देखने के लिए कि यह सच क्यों है, विचार करें
\frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{1/x^n} = x^n
उदाहरण के लिए, संख्या
\frac{x^5}{x^{-3}} = x^5 × x^3
आप प्राप्त करने के लिए घातांक जोड़ते हैंएक्स8. नियम है:
\frac{x^n}{x^{-m}} = x^{(n + m)}
उदाहरण
1. सरल
x^5y^4 × x^{-2}y^2
घातांक एकत्रित करना:
x^{(5 - 2)}y^{(4 +2)} = x^3y^6
आप केवल घातांक में हेरफेर कर सकते हैं यदि उनके पास समान आधार है, तो आप और अधिक सरल नहीं कर सकते।
2. सरल
\frac{x^3y^{-5}}{x^2 y^{-3 }}
ऋणात्मक घातांक से भाग देना उसी धनात्मक घातांक से गुणा करने के बराबर है, इसलिए आप इस व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} \frac{(x^3y^{-5}) × y^3}{ x^2} &= x^{(3 - 2)}y^{(-5 + 3)} \ \ &= xy^{-2} \\ &=\frac{x}{y^2} \end{aligned}
3. सरल
\frac{x^0y^2}{xy^{-3}}
0 के घातांक तक कोई भी संख्या 1 होती है, इसलिए आप इस व्यंजक को पढ़ने के लिए फिर से लिख सकते हैं:
x^{-1}y^{(2 + 3)} =\frac{y^5}{x}