कोणीय गति: परिभाषा, समीकरण, इकाइयाँ (w / आरेख और उदाहरण)

दृश्य पर विचार करें: आप और एक दोस्त, आपके नियंत्रण से परे मुद्दों के कारण, एक लंबे, नीचे की ओर ढलान वाले रैंप के शीर्ष पर खड़े हैं। आप में से प्रत्येक को त्रिज्या में ठीक 1 मीटर की एक गेंद दी गई है। आपको बताया गया है कि आपका एक समान, फोम जैसी सामग्री से बना है और इसका द्रव्यमान 5 किलो है। आपके मित्र की गेंद का द्रव्यमान भी 5 किग्रा है, जिसे आप एक आसान पैमाने से सत्यापित करते हैं।

आपका मित्र आपसे शर्त लगाना चाहता है कि यदि आप एक ही समय में दो गेंदें छोड़ते हैं, तो आप पहले नीचे तक पहुंचेंगे। आप यह तर्क देने के लिए ललचाते हैं कि चूंकि गेंदों का द्रव्यमान और समान त्रिज्या (और इसलिए आयतन) है, इसलिए वे पूरे वंश में समान वेग से रैंप के नीचे गुरुत्वाकर्षण द्वारा त्वरित होंगे। लेकिन कुछ आपकी सट्टेबाजी "गति" को रोकता है और आप दांव नहीं लगाते हैं ...

... बुद्धिमानी से, जैसा कि यह निकला। हालांकि पहली बार में इसका कोई मतलब नहीं है, आपके दोस्त की गेंद, सभी तरह से आपकी खुद की एक जुड़वां, रैंप पर आपकी तुलना में अधिक धीमी गति से नीचे जाती है। प्रयोग समाप्त होने के बाद, आप मांग करते हैं कि गेंदों को तोड़ दिया जाए और छल के संकेतों के लिए जांच की जाए। इसके बजाय, आप केवल यह पाते हैं कि आपके मित्र की गेंद में 5 किलो द्रव्यमान बाहर की ओर एक पतले खोल तक सीमित था, जिसमें आंतरिक खोखला था।

ऊपर वर्णित कॉन्फ़िगरेशन के बारे में क्या आपकी गेंद के पक्ष में v के मान को झुकाता है? जैसा होता है, वैसा हीताकतोंको बदलेंरेखीय संवेगवस्तुओं के साथरेखीय वेग​, ​टोक़को बदलेंकोणीय गतिवस्तुओं के साथकोणीय वेग​.

एक कठोर लुढ़कने वाली वस्तु में रैखिक संवेग और कोणीय संवेग दोनों होते हैं, क्योंकि जैसे-जैसे इसका द्रव्यमान केंद्र निरंतर वेग v (बराबर गेंद या पहिया के स्पर्शरेखा वेग के लिए), वस्तु का हर दूसरा भाग द्रव्यमान के उस केंद्र के बारे में कोणीय वेग के साथ घूमता है ω.

किसी वस्तु के भीतर द्रव्यमान कैसे वितरित किया जाता है, इसका उसके रैखिक संवेग पर कोई असर नहीं पड़ता है, लेकिन इसकी कोणीय गति को उत्कृष्ट रूप से निर्धारित करता है। यह एक "द्रव्यमान की तरह" (घूर्णी उद्देश्यों के लिए) मात्रा के माध्यम से करता है जिसे जड़ता का क्षण कहा जाता है, के उच्च मूल्य जिसका अर्थ है कि किसी चीज़ को घुमाने में अधिक कठिनाई और एक बार पहले से ही उसे रोकने में अधिक कठिनाई difficulty घूर्णन।

कोणीय गति इस बात का माप है कि किसी वस्तु की घूर्णी गति को बदलना कितना कठिन है। यह वस्तु के जड़त्व आघूर्ण और उसके कोणीय वेग पर निर्भर करता है। कोणीय गति एक संरक्षित मात्रा है, जिसका अर्थ है कि एक बंद प्रणाली में कणों के कोणीय गति का योग हमेशा समान होता है, भले ही व्यक्तिगत कणों में उतार-चढ़ाव हो सकता है।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, कोणीय गति भी एक अक्ष के बारे में द्रव्यमान के वितरण का एक कार्य है। इसका एक सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, एक विशाल मीरा-गो-राउंड के केंद्र से 1 फुट की दूरी पर खड़े होने की कल्पना करें, जो हर 10 सेकंड में एक चक्कर लगाता है। अब कल्पना करें कि खड़े होकर एक ही कोणीय वेग के साथ एक ही कोंटरापशन पर हैं 1मीलकेंद्र से। इन दो परिदृश्यों में कोणीय गति में अंतर की कल्पना करने में ज्यादा कल्पना नहीं होती है।

​कोणीय गति जड़ता के क्षण का गुणनफल है जो इसके कोणीय वेग का है, या:
​

कहां हैली= kg∙m. में कोणीय संवेग²/s,मैं= kg∙m. में जड़ता का क्षण², और ω = रेडियन प्रति सेकंड (रेड/एस) में कोणीय वेग।

• ​मैंक्षेत्र का दूसरा क्षण भी कहा जाता है।

ध्यान दें कि चर्चा एक बिंदु द्रव्यमान से एक ठोस पिंड तक फैली हुई है, जैसे कि एक सिलेंडर या गोला, जो एक अक्ष के चारों ओर घूमता है। किसी वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र अक्सर अपने पर नहीं होता हैज्यामितिककेंद्र, इसलिए values ​​के मानमैंनिर्भर करता है कि वस्तु का द्रव्यमान कैसे वितरित किया जाता है। अक्सर यह सममित होता है लेकिन एक समान नहीं होता है, जैसे कि एक खोखली डिस्क जिसके सभी द्रव्यमान बाहर की तरफ एक पतली पट्टी में होते हैं (दूसरे शब्दों में, एक अंगूठी)।

कोणीय संवेग सदिश घूर्णन अक्ष के अनुदिश इंगित करता है, जो द्वारा निर्मित समतल के लंबवत हैआर, अंतरिक्ष के माध्यम से वस्तु में किसी भी बिंदु का गोलाकार "स्वीप"।

के मान के लिए एक संदर्भ चार्टमैंविभिन्न सामान्य आकृतियों के लिए संसाधन में पाया जाता है। कुछ बुनियादी कोणीय गति समस्याओं पर आरंभ करने के लिए इनका उपयोग करें।

• ध्यान दें किमैंएक गोलाकार खोल के लिए (2/3)mr. है² जबकि एक गोले का है (2/5)mr². परिचय में दांव पर वापस जा रहे हैं, अब आप देख सकते हैं कि आपके मित्र की गेंद में (2/3)/(2/5) = 1.67 बार जड़ता का क्षण है, जो आपको "रेस" जीतने की व्याख्या करता है।

1. घूर्णी जड़ता के साथ एक डिस्कमैं1.5 किग्रा∙मी. का²/s एक कोणीय वेग के साथ एक अक्ष के बारे में घूमता हैω8 रेड/एस. इसका कोणीय संवेग क्या हैली​?

2. एक पतली छड़ 15 मीटर लंबी 5 किलो के द्रव्यमान के साथ - एक विशाल घड़ी का हाथ, कहते हैं - कोणीय वेग के साथ एक छोर पर तय एक बिंदु के बारे में घूमता हैω2π rad/60 s = (π/30) rad/s का। इसका कोणीय संवेग क्या हैली​?

इस बार, आपको के मूल्य को देखने की जरूरत हैमैं. इस प्रकार चलने वाली एक पतली छड़ के लिए,मैं= (1/3) एमआर²​.

इसकी तुलना पहले उदाहरण में दिए गए उत्तर से करें। क्या यह आपको हैरान करता है? क्यों या क्यों नहीं?

"संरक्षण" का अर्थ भौतिक विज्ञान में पारिस्थितिक तंत्र के दायरे की तुलना में कुछ अलग है। इसका सीधा सा मतलब है कि संरक्षित मात्रा (ऊर्जा, संवेग, द्रव्यमान और जड़ता) की कुल मात्रा है "बिग फोर" भौतिकी में संरक्षित मात्रा) ब्रह्मांड सहित, हमेशा रहता है वही। यदि आप ऊर्जा को "समाप्त" करने का प्रयास करते हैं, तो यह बस दूसरे रूप में दिखाई देती है, और इसे "बनाने" का कोई भी प्रयास पहले से मौजूद स्रोत पर निर्भर करता है।

कोणीय गति के संरक्षण का नियम कहता है कि एक बंद प्रणाली में, कुल कोणीय गति नहीं बदल सकती है। क्योंकि कोणीय गति कोणीय वेग और जड़ता के क्षण पर निर्भर करती है, कोई यह अनुमान लगा सकता है कि किसी स्थिति में इन राशियों में से किसी एक को एक दूसरे के संबंध में कैसे बदलना चाहिए।

• औपचारिक रूप से, चूंकि टोक़ को के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैτ= डीली/dt (समय के साथ कोणीय गति होने पर परिवर्तन की दर), जब एक सिस्टम में टॉर्क का योग शून्य होता है, तो dली/dt भी शून्य होना चाहिए और समय सीमा में सिस्टम में कोणीय गति में कोई परिवर्तन नहीं होता है जिसमें सिस्टम का मूल्यांकन किया जाता है। इसके विपरीत, यदि L स्थिर नहीं है, तो इसका मतलब है कि सिस्टम में टॉर्क का असंतुलन (यानी,τ_जालहैनहींशून्य के बराबर)।

दैनिक जीवन से कई यांत्रिकी उदाहरणों में यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। एक उत्कृष्ट उदाहरण आइस स्केटर है: जब वह ट्रिपल एक्सल करने के लिए हवा में कूदती है, तो वह अपने अंगों को कसकर खींचती है। यह उसके घूर्णन की धुरी के चारों ओर उसके समग्र त्रिज्या को कम कर देता है, जिससे उसका द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है जिससे उसकी जड़ता का क्षण कम हो जाता है (याद रखें,मैंm. के समानुपाती होता हैआर²​).

क्योंकि कोणीय संवेग संरक्षित है, तथापि, यदिमैंघटता है, उसका कोणीय वेग बढ़ना चाहिए; इस तरह वह हवा में कई चक्कर लगाने के लिए पर्याप्त तेजी से घूमती है! जब वह उतरती है, तो वह उल्टा करती है - वह अपने अंगों को फैलाती है, जड़ता के अपने क्षण को बढ़ाने के लिए अपने द्रव्यमान वितरण को बदल देती है, बदले में उसकी रोटेशन दर (कोणीय वेग) को धीमा कर देती है।

पूरे समय, सिस्टम का कोणीय संवेग स्थिर रहता है, लेकिन वे चर जो कोणीय संवेग के परिमाण को निर्धारित करते हैं, हेरफेर किया जा सकता है, और रणनीतिक प्रभाव के लिए, जैसा कि इस मामले में है।

1600 के दशक में, आइजैक न्यूटन ने गणितीय भौतिकी में प्रभावी रूप से क्रांति लाने की शुरुआत की। कलन का सह-आविष्कार करने के बाद, वह संभवतः सार्वभौमिक कानूनों के बारे में औपचारिक रूप से दावा करने के लिए अच्छी स्थिति में था वस्तुओं की गति को नियंत्रित करना, दोनों अनुवादात्मक (रैखिक रूप से और अंतरिक्ष के माध्यम से) और घूर्णी रूप से (चक्रीय और लगभग and) एक अक्ष)।

• बहुत सेसंरक्षण कानूनजो बाद में पर्याप्त उल्लेख प्राप्त करते हैं, वे न्यूटन के दिमाग की उपज नहीं हैं, लेकिन इनके और गति के नियमों के बीच महत्वपूर्ण संबंध मौजूद हैं।

​न्यूटन का पहला नियमकहता है कि स्थिर या स्थिर वेग से गतिमान वस्तु इस अवस्था में तब तक बनी रहेगी जब तक कि वस्तु पर कोई बाहरी बल कार्य न करे। इसे भी कहा जाता हैजड़ता का नियम।​

​न्यूटन का दूसरा नियमदावा करता है कि एक शुद्ध बलएफ_जालद्रव्यमान के साथ एक कण पर कार्य करता हैम, यह उस द्रव्यमान के वेग को बदलने या उसमें तेजी लाने की प्रवृत्ति रखता है। यह प्रसिद्ध संबंध गणितीय रूप से व्यक्त किया जाता हैएफ_जाल= एमए​.

​न्यूटन का तीसरा नियमकहते हैं कि प्रकृति में मौजूद प्रत्येक बल के लिए परिमाण में बराबर लेकिन विपरीत दिशा में इंगित करने वाला बल मौजूद होता है। कोणीय गति सहित गति के संरक्षित गुणों के लिए इस कानून के महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं।

प्रकृति, नियमों और इनके बीच संबंधों की समीक्षा करने के लिए अब एक उत्कृष्ट समय हैबल​, ​गति(द्रव्यमान समय वेग) औरऊर्जा, जो न केवल कोणीय गति के बारे में बल्कि शास्त्रीय भौतिकी में बाकी सभी चीजों के बारे में चर्चा करता है।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, जब तक कि कोई वस्तु बाहरी बल (या घूमने वाली वस्तु के मामले में, बाहरी टोक़) का अनुभव नहीं करती है, तब तक उसकी गति अप्रभावित रहती है। पृथ्वी पर, हालांकि, गुरुत्वाकर्षण लगभग हमेशा मिश्रण में होता है, क्योंकि कम योगदानकर्ता एयर ड्रैग और विभिन्न प्रकार के घर्षण होते हैं बलों, इसलिए कुछ भी बस तब तक नहीं चलता है जब तक कि इन पुरानी "गति" द्वारा "ले गए" को बदलने के लिए कभी-कभी ऊर्जा नहीं दी जाती है चोर।"

सरल बनाने के लिए, एक कण में a. होता हैकुल ऊर्जाको मिलाकरआंतरिक ऊर्जा(जैसे, इसके अणुओं का कंपन) और)मेकेनिकल ऊर्जा. यांत्रिक ऊर्जा का योग होता हैसंभावित ऊर्जा(पी.ई; "संग्रहीत" ऊर्जा, आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के माध्यम से) औरगतिज ऊर्जा(केई; गति की ऊर्जा)। सहायक रूप से, PE + KE + IE = सभी प्रणालियों के लिए एक स्थिरांक, चाहे वह एक बिंदु द्रव्यमान (एकल कण) हो या विभिन्न प्रकार की सीटी, परस्पर क्रिया करने वाले द्रव्यमान।

जब आप गति से संबंधित शब्द सुनते हैं, जैसे वेग, त्वरण, विस्थापन और संवेग, तो आप शायद डिफ़ॉल्ट रूप से मान लेते हैं कि संदर्भ रैखिक गति है। घूर्णी गति, वास्तव में, अपनी अनूठी लेकिन समान मात्रा में होती है।

जबकि रैखिक विस्थापन को SI इकाइयों में मीटर (m) में मापा जाता है, कोणीय विस्थापन को रेडियन (2π rad = 360 डिग्री) में मापा जाता है। तदनुसार,कोणीय वेगrad/s में मापा जाता है और इसे द्वारा दर्शाया जाता हैω, ग्रीक अक्षर ओमेगा।

हालांकि, जैसे ही एक बिंदु द्रव्यमान अपने घूर्णन अक्ष के चारों ओर घूमता है, कोणीय वेग के अलावा, कण रैखिक गति के समान, एक निश्चित दर पर एक गोलाकार पथ का पता लगा रहा है। यह दर हैस्पर्शरेखा वेग​ ​वी_तो​​,और r. के बराबर हैω,कहां हैआरत्रिज्या है, या रोटेशन की धुरी से दूरी है।

संबंधित,कोणीय त्वरण​ ​α(ग्रीक अल्फा) कोणीय वेग के परिवर्तन की दर हैωऔर rad/s. में मापा जाता है². वहाँ भी है एककेन्द्राभिमुख त्वरण​ ​ए_सीद्वारा दिए गएवी_तो²/r,जो रोटेशन की धुरी की ओर अंदर की ओर निर्देशित होती है।

• कोणीय गति की चर्चा करते समय, m. के समकक्षवीरैखिक शब्दों में, जल्द ही गहन चर्चा की जाएगी, जानिए इसका एक घटक,मैं, द्रव्यमान के एक घूर्णी एनालॉग के रूप में सोचा जा सकता है।

कोणीय संवेग, जैसे बल, विस्थापन, वेग और त्वरण, है aवेक्टर क्वांटिटी, क्योंकि ऐसे चरों में दोनों शामिल हैं aपरिमाण(यानी, एक संख्या) और एदिशा, अक्सर इसके व्यक्तिगत x-, y- और z-घटकों की शर्तें दी जाती हैं। वे मात्राएँ जिनमें केवल संख्यात्मक तत्व होते हैं, जैसे द्रव्यमान, समय, ऊर्जा और कार्य, कहलाते हैंअदिश मात्रा​.