Mouvement d'un projectilese réfère au mouvement d'une particule qui est communiquée avec une vitesse initiale mais n'est ensuite soumise à aucune force autre que celle de la gravité.
Cela inclut les problèmes dans lesquels une particule est projetée à un angle compris entre 0 et 90 degrés par rapport à l'horizontale, l'horizontale étant généralement le sol. Par commodité, ces projectiles sont supposés voyager dans le (x, y) avion, avecXreprésentant le déplacement horizontal etouidéplacement vertical.
La trajectoire empruntée par un projectile est appelée sontrajectoire. (Notez que le lien commun dans "projectile" et "trajectoire" est la syllabe "-ject", le mot latin pour "lancer". Éjecter quelqu'un, c'est littéralement le jeter dehors.) Le point d'origine du projectile dans les problèmes dans lesquels vous devez calculer la trajectoire est généralement supposé être (0, 0) pour plus de simplicité, sauf indication contraire déclaré.
La trajectoire d'un projectile est une parabole (ou au moins trace une portion de parabole) si la particule est lancée de telle manière qu'il a une composante de mouvement horizontal non nulle, et qu'il n'y a pas de résistance de l'air pour affecter le particule.
Les équations cinématiques
Les variables d'intérêt dans le mouvement d'une particule sont ses coordonnées de positionXetoui, sa vitessev, et son accélérationune, le tout par rapport à un temps écoulé donnétdepuis le début du problème (lorsque la particule est lancée ou libérée). Notez que l'omission de la masse (m) implique que la gravité sur Terre agit indépendamment de cette quantité.
Notez également que ces équations ignorent le rôle de la résistance de l'air, qui crée une force de traînée s'opposant au mouvement dans des situations terrestres réelles. Ce facteur est introduit dans les cours de mécanique de niveau supérieur.
Les variables auxquelles un indice "0" est attribué font référence à la valeur de cette quantité à un moment donnét= 0 et sont des constantes; souvent, cette valeur est 0 grâce au système de coordonnées choisi, et l'équation devient d'autant plus simple. L'accélération est considérée comme constante dans ces problèmes (et est dans la direction y et égale à -g,ou alors–9.8 m/s2, l'accélération due à la gravité près de la surface de la Terre).
Mouvement horizontal:
x=x_0+v_xt
- Le terme
vXest la vitesse x constante.
Mouvement vertical :
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
Exemples de mouvement de projectile
La clé pour pouvoir résoudre des problèmes qui incluent des calculs de trajectoire est de savoir que les composantes horizontale (x) et verticale (y) de le mouvement peut être analysé séparément, comme indiqué ci-dessus, et leurs contributions respectives au mouvement global soigneusement additionnées à la fin de la problème.
Les problèmes de mouvement de projectile comptent comme des problèmes de chute libre car, peu importe à quoi les choses se présentent, le temps passet= 0, la seule force agissant sur l'objet en mouvement est la gravité.
- Sachez que parce que la gravité agit vers le bas, et ceci est considéré comme la direction y négative, la valeur de l'accélération est -g dans ces équations et problèmes.
Calculs de trajectoire
1. Les lanceurs les plus rapides du baseball peuvent lancer une balle à un peu plus de 100 milles à l'heure, ou 45 m/s. Si une balle est lancée verticalement vers le haut à cette vitesse, jusqu'où ira-t-elle et combien de temps faudra-t-il pour revenir au point où elle a été lancée ?
Icivy0= 45 m/s, -g= –9.8 m/s, et les quantités d'intérêt sont la hauteur ultime, ououi,et le temps total de retour sur Terre. Le temps total est un calcul en deux parties: le temps jusqu'à y et le temps jusqu'à y0 = 0. Pour la première partie du problème,voui,lorsque la balle atteint sa hauteur maximale, est de 0.
Commencez par utiliser l'équationvoui2= v0y2 – 2g (y – y0)et en branchant les valeurs que vous avez:
0 = (45)^2 – (2)(9.8)(y – 0) = 2 025 – 19,6y\implique y=103,3\text{ m}
L'équationvoui = v0y – gtmontre que le temps t que cela prend est (45/9,8) = 4,6 secondes. Pour obtenir le temps total, ajoutez cette valeur au temps qu'il faut pour que la balle tombe librement à son point de départ. Ceci est donné pary = y0 + v0yt – (1/2)gt2, où maintenant, parce que la balle est encore à l'instant avant qu'elle ne commence à s'effondrer,v0y = 0.
Résoudre :
103.3=(1/2)gt^2\implique t=4.59\text{ s}
Ainsi, le temps total est de 4,59 + 4,59 = 9,18 secondes. Le résultat peut-être surprenant que chaque "étape" du voyage, de haut en bas, a pris le même temps souligne le fait que la gravité est la seule force en jeu ici.
2. L'équation de portée :Lorsqu'un projectile est lancé à une vitessev0et un angle θ de l'horizontale, il a des composantes horizontales et verticales initiales de la vitessev0x = v0(cos ) etv0y = v0(péché θ).
Parce quevoui = v0y – gt, etvoui = 0 lorsque le projectile atteint sa hauteur maximale, le temps jusqu'à la hauteur maximale est donné par t =v0y/g. En raison de la symétrie, le temps qu'il faudra pour revenir au sol (ou y = y0) est simplement 2t = 2v0y/g.
Enfin, en les combinant avec la relation x =v0xt, la distance horizontale parcourue pour un angle de lancement est
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(La dernière étape vient de l'identité trigonométrique 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Puisque sin2θ est à sa valeur maximale de 1 lorsque θ = 45 degrés, l'utilisation de cet angle maximise la distance horizontale pour une vitesse donnée à
R=\frac{v_0^2}{g}