Si vous aimez les bizarreries mathématiques, vous adorerez le triangle de Pascal. Nommé d'après le mathématicien français du XVIIe siècle Blaise Pascal, et connu des Chinois pendant de nombreux siècles avant Pascal sous le nom de triangle de Yanghui, c'est en fait plus qu'une bizarrerie. C'est un arrangement spécifique de nombres qui est incroyablement utile en algèbre et en théorie des probabilités. Certaines de ses caractéristiques sont plus déroutantes et intéressantes qu'elles ne sont utiles. Ils aident à illustrer la mystérieuse harmonie du monde telle que décrite par les nombres et les mathématiques.
La règle pour construire le triangle de Pascal ne pourrait pas être plus simple. Commencez par le numéro un au sommet et formez la deuxième rangée en dessous avec une paire de uns. Pour construire la troisième et toutes les rangées suivantes, commencez par en mettre une au début et à la fin. Dérivez chaque chiffre entre cette paire de uns en ajoutant les deux chiffres immédiatement au-dessus. La troisième ligne est donc 1, 2, 1, la quatrième ligne est 1, 3, 3, 1, la cinquième ligne est 1, 4, 6, 4, 1 et ainsi de suite. Si chaque chiffre occupe une case de la même taille que toutes les autres cases, l'arrangement forme un parfait triangle équilatéral délimité sur deux côtés par des uns et dont la base est de longueur égale au numéro du rang. Les rangées sont symétriques en ce sens qu'elles se lisent de la même manière en avant et en arrière.
Pascal a découvert le triangle, connu depuis des siècles par les philosophes persans et chinois, lorsqu'il étudiait le développement algébrique de l'expression (x + y)m. Lorsque vous développez cette expression à la puissance n, les coefficients des termes du développement correspondent aux nombres de la nième rangée du triangle. Par exemple, (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 etc. Pour cette raison, les mathématiciens appellent parfois l'arrangement le triangle des coefficients binomiaux. Pour de grands nombres de n, il est évidemment plus facile de lire les coefficients de dilatation du triangle que de les calculer.
Supposons que vous lanciez une pièce un certain nombre de fois. Combien de combinaisons de pile et face pouvez-vous obtenir? Vous pouvez le découvrir en regardant la rangée du triangle de Pascal qui correspond au nombre de fois que vous lancez la pièce et en additionnant tous les nombres de cette rangée. Par exemple, si vous lancez la pièce 3 fois, il y a 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilités. La probabilité d'obtenir le même résultat trois fois de suite est donc de 1/8.
De même, vous pouvez utiliser le triangle de Pascal pour trouver de combien de façons vous pouvez combiner des objets ou des choix à partir d'un ensemble donné. Supposons que vous ayez 5 balles et que vous vouliez savoir combien de façons vous pouvez en choisir deux. Allez simplement à la cinquième rangée et regardez la deuxième entrée pour trouver la réponse, qui est 5.