En termes réels, une parabole est l'arc qu'une balle fait lorsque vous la lancez, ou la forme distinctive d'une antenne parabolique. En termes mathématiques, une parabole est la forme que vous obtenez lorsque vous coupez un cône solide à un angle parallèle à l'un de ses côtés, c'est pourquoi il est connu comme l'un des « sections coniques ». La façon la plus simple de trouver l'équation d'une parabole est d'utiliser votre connaissance d'un point spécial, appelé le sommet, qui est situé sur la parabole lui-même.
Reconnaître une formule de parabole
Si vous voyez une équation quadratique à deux variables, de la formey = hache2 + bx + c, où a ≠ 0, alors félicitations! Vous avez trouvé une parabole. L'équation quadratique est parfois aussi connue sous le nom de formule "forme standard" d'une parabole.
Mais si on vous montre un graphique d'une parabole (ou si on vous donne un peu d'informations sur la parabole dans un texte ou un "mot problème"), vous allez vouloir écrire votre parabole sous la forme dite de sommet, qui ressemble à cette:
y = a (x - h)2 + k(si la parabole s'ouvre verticalement)
x = a (y - k)2 + h(si la parabole s'ouvre horizontalement)
Quel est le sommet de la parabole ?
Dans l'une ou l'autre formule, les coordonnées (h, k) représentent le sommet de la parabole, qui est le point où l'axe de symétrie de la parabole croise la ligne de la parabole elle-même. Ou pour le dire autrement, si vous deviez plier la parabole en deux en son milieu, le sommet serait le "pic" de la parabole, là où il croise le pli du papier.
Trouver l'équation d'une parabole
Si on vous demande de trouver l'équation d'une parabole, on vous dira soit le sommet de la parabole et au moins un autre point dessus, ou vous recevrez suffisamment d'informations pour comprendre ces en dehors. Une fois que vous avez ces informations, vous pouvez trouver l'équation de la parabole en trois étapes.
Faisons un exemple de problème pour voir comment cela fonctionne. Imaginez qu'on vous donne une parabole sous forme de graphique. On vous dit que le sommet de la parabole est au point (1,2), qu'il s'ouvre verticalement et qu'un autre point de la parabole est (3,5). Quelle est l'équation de la parabole ?
Avec toutes ces lettres et ces chiffres qui circulent, il peut être difficile de savoir quand vous avez « fini » de trouver une formule! En règle générale, lorsque vous travaillez sur des problèmes en deux dimensions, vous avez terminé lorsqu'il ne vous reste que deux variables. Ces variables sont généralement écrites sous la formeXetoui,surtout lorsqu'il s'agit de formes "standardisées" telles qu'une parabole.
Votre toute première priorité doit être de décider quelle forme d'équation de sommet vous utiliserez. N'oubliez pas que si la parabole s'ouvre verticalement (ce qui peut signifier que le côté ouvert du U est tourné vers le haut ou vers le bas), vous utiliserez cette équation :
y = a (x - h)2 + k
Et si la parabole s'ouvre horizontalement (ce qui peut signifier que le côté ouvert du U fait face à droite ou à gauche), vous utiliserez cette équation :
x = a (y - k)2 + h
Comme l'exemple de parabole s'ouvre verticalement, utilisons la première équation.
Ensuite, remplacez les coordonnées du sommet de la parabole (h, k) dans la formule que vous avez choisie à l'étape 1. Puisque vous savez que le sommet est à (1,2), vous substituerez h = 1 et k = 2, ce qui vous donne ce qui suit :
y = un (x - 1)2 + 2
La dernière chose à faire est de trouver la valeur deune. Pour ce faire, choisissez n'importe quel point (x, y) sur la parabole, tant que ce point n'est pas le sommet, et le substituer dans l'équation.
Dans ce cas, on vous a déjà donné les coordonnées d'un autre point du sommet: (3,5). Vous allez donc substituer x = 3 et y = 5, ce qui vous donne :
5 = un (3 - 1)2 + 2
Il ne vous reste plus qu'à résoudre cette équation pourune. Une petite simplification vous permet d'obtenir ce qui suit :
5 = un (2)2 + 2, qui peut encore être simplifié en :
5 = un (4) + 2, qui devient à son tour :
3 = un (4), et enfin:
a = 3/4
Maintenant que vous avez trouvé la valeur deune, remplacez-le dans votre équation pour terminer l'exemple :
y = (3/4)(x - 1)2 + 2est l'équation d'une parabole de sommet (1,2) et contenant le point (3,5).