Comment résoudre une équation de racine carrée

La racine carrée d'un nombre est une valeur qui, multipliée par elle-même, donne le nombre d'origine. Par exemple, la racine carrée de 0 est 0, la racine carrée de 100 est 10 et la racine carrée de 50 est 7,071. Parfois, vous pouvez déterminer, ou simplement vous rappeler, la racine carrée d'un nombre qui est lui-même un « carré parfait », qui est le produit d'un nombre entier multiplié par lui-même; au fur et à mesure que vous progressez dans vos études, vous développerez probablement une liste mentale de ces nombres (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Les problèmes impliquant des racines carrées sont indispensables en ingénierie, en calcul et pratiquement dans tous les domaines du monde moderne. Bien que vous puissiez facilement localiser des calculatrices d'équations de racine carrée en ligne (voir Ressources pour un exemple), la résolution d'équations de racine carrée est un élément important compétence en algèbre, car cela vous permet de vous familiariser avec l'utilisation des radicaux et de travailler avec un certain nombre de types de problèmes en dehors du domaine des racines carrées en soi.

Le fait que la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif est important dans le monde des racines carrées car cela implique que les nombres positifs ont en fait deux racines carrées (par exemple, les racines carrées de 16 sont 4 et -4, même si seule la première est intuitive). De même, les nombres négatifs n'ont pas de racines carrées réelles, car il n'y a pas de nombre réel qui prenne une valeur négative lorsqu'il est multiplié par lui-même. Dans cette présentation, la racine carrée négative d'un nombre positif sera ignorée, de sorte que la « racine carrée de 361 » peut être considérée comme « 19 » plutôt que « -19 et 19 ».

De plus, lorsque vous essayez d'estimer la valeur d'une racine carrée alors qu'aucune calculatrice n'est à portée de main, il est important de réaliser que les fonctions impliquant des carrés et des racines carrées ne sont pas linéaires. Vous en verrez plus à ce sujet dans la section sur les graphiques plus tard, mais à titre d'exemple approximatif, vous avez déjà observé que la racine carrée de 100 est 10 et la racine carrée de 0 est 0. À vue, cela peut vous amener à deviner que la racine carrée de 50 (qui est à mi-chemin entre 0 et 100) doit être 5 (qui est à mi-chemin entre 0 et 10). Mais vous avez aussi déjà appris que la racine carrée de 50 est 7,071.

Enfin, vous avez peut-être intériorisé l'idée que la multiplication de deux nombres ensemble donne un nombre plus grand que lui-même, ce qui implique que les racines carrées des nombres sont toujours plus petites que l'original numéro. Ce n'est pas le cas! Les nombres entre 0 et 1 ont également des racines carrées, et dans tous les cas, la racine carrée est supérieure au nombre d'origine. Cela se montre plus facilement en utilisant des fractions. Par exemple, 16/25, ou 0,64, a un carré parfait au numérateur et au dénominateur. Cela signifie que la racine carrée de la fraction est la racine carrée de ses composants supérieur et inférieur, qui est 4/5. Ceci est égal à 0,80, un nombre supérieur à 0,64.

« La racine carrée deX" s'écrit généralement en utilisant ce qu'on appelle un signe radical, ou simplement un radical (√ ). Ainsi pour toutX​:

représente sa racine carrée. En retournant ça, le carré d'un nombreXs'écrit en utilisant un exposant de 2 (X​²). Les exposants prennent des exposants sur le traitement de texte et les applications associées, et sont également appelés puissances. Parce que les signes radicaux ne sont pas toujours faciles à produire à la demande, une autre façon d'écrire « la racine carrée deX" consiste à utiliser un exposant :

Cela fait à son tour partie d'un schéma général :

signifie "éleverXau pouvoir deoui, puis prenez le 'z' racine de celui-ci."X​^1/2 signifie donc "éleverXà la première puissance, qui est simplementXà nouveau, puis en prendre la racine 2, ou la racine carrée.X​^(5/3) signifie "éleverXà la puissance 5, puis trouvez la troisième racine (ou racine cubique) du résultat."

Les radicaux peuvent être utilisés pour représenter des racines autres que 2, la racine carrée. Cela se fait en ajoutant simplement un exposant en haut à gauche du radical.

alors, représente le même nombre queX​^(5/3) du paragraphe précédent le fait.

La plupart des racines carrées sont des nombres irrationnels. Cela signifie que non seulement ce ne sont pas des entiers sympas et soignés (par exemple, 1, 2, 3, 4.. .), mais ils ne peuvent pas non plus être exprimés sous la forme d'un nombre décimal net qui se termine sans avoir à être arrondi. Un nombre rationnel peut être exprimé sous forme de fraction. Donc même si 2,75 n'est pas un entier, c'est un nombre rationnel car c'est la même chose que la fraction 11/4. On vous a dit plus tôt que la racine carrée de 50 est 7,071, mais elle est en fait arrondie à partir d'un nombre infini de décimales. La valeur exacte de √50 est 5√2, et vous verrez bientôt comment cela est déterminé.

Vous avez déjà vu que les équations impliquant des carrés et des racines carrées sont non linéaires. Une façon simple de s'en souvenir est que les graphiques des solutions de ces équations ne sont pas des lignes. Cela a du sens, car si, comme indiqué, le carré de 0 est 0 et le carré de 10 est 100 mais le carré de 5 n'est pas 50, le graphique résultant de la simple mise au carré d'un nombre doit se courber vers le bon valeurs.

C'est le cas du graphique de

comme vous pouvez le constater par vous-même en visitant la calculatrice dans les ressources et en modifiant les paramètres. La ligne passe par le point (0,0) et y ne descend pas en dessous de 0, ce à quoi vous devez vous attendre car vous savez queX​² n'est jamais négatif. Vous pouvez également voir que le graphique est symétrique autour de laoui-axe, ce qui est également logique car chaque racine carrée positive d'un nombre donné est accompagnée d'une racine carrée négative de même amplitude. Par conséquent, à l'exception de 0, chaqueouivaleur sur le graphique deoui​ = ​X​² est associé à deuxX-valeurs.

Une façon de résoudre les problèmes de racine carrée de base à la main est de rechercher des carrés parfaits "cachés" à l'intérieur du problème. Tout d'abord, il est important de connaître quelques propriétés vitales des carrés et des racines carrées. L'un d'eux est que, tout comme √X​² est simplement égal àX(car le radical et l'exposant s'annulent):

C'est-à-dire que si vous avez un carré parfait sous un radical multipliant un autre nombre, vous pouvez le "tirer" et l'utiliser comme coefficient de ce qui reste. Par exemple, revenir à la racine carrée de 50

Parfois, vous pouvez vous retrouver avec un nombre impliquant des racines carrées exprimé sous forme de fraction, mais qui reste un nombre irrationnel car le dénominateur, le numérateur ou les deux contiennent un radical. Dans de tels cas, on peut vous demander de rationaliser le dénominateur. Par exemple, le nombre

a un radical au numérateur et au dénominateur. Mais après avoir scruté "45", vous pouvez le reconnaître comme le produit de 9 et 5, ce qui signifie que

La fraction peut donc s'écrire

Les radicaux s'annulent et il vous reste 6/3 = 2.