Une fois que vous commencez à résoudre des équations algébriques impliquant des polynômes, la capacité de reconnaître des formes spéciales et facilement factorisées de polynômes devient très utile. L'un des polynômes "faciles" les plus utiles à repérer est le carré parfait, ou le trinôme qui résulte de la mise au carré d'un binôme. Une fois que vous avez identifié un carré parfait, le factoriser dans ses composants individuels est souvent une partie vitale du processus de résolution de problèmes.
Avant de pouvoir factoriser un trinôme carré parfait, vous devez apprendre à le reconnaître. Un carré parfait peut prendre l'une des deux formes
a^2 + 2ab + b^2 \text{, qui est le produit de } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, qui est le produit de } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Vérifiez les premier et troisième termes du trinôme. Sont-ils tous les deux carrés? Si oui, déterminez de quoi ils sont carrés. Par exemple, dans le deuxième exemple du « monde réel » donné ci-dessus :
y^2 - 2y + 1
le termeoui2 est évidemment le carré dey.Le terme 1 est, peut-être moins évidemment, le carré de 1, car 12 = 1.
Multipliez les racines des premier et troisième termes ensemble. Pour continuer l'exemple, c'estouiet 1, ce qui vous donneoui × 1 = 1ouiou simplementoui.
Ensuite, multipliez votre produit par 2. En continuant l'exemple, vous avez 2y.
Enfin, comparez le résultat de la dernière étape au moyen terme du polynôme. Correspondent-ils? Dans le polynômeoui2 – 2oui+ 1, ils le font. (Le signe n'a pas d'importance; ce serait aussi un match si le moyen terme était +2oui.)
Parce que la réponse à l'étape 1 était "oui" et que votre résultat de l'étape 2 correspond au terme moyen du polynôme, vous savez que vous regardez un trinôme carré parfait.
Une fois que vous savez que vous regardez un trinôme carré parfait, le processus de factorisation est assez simple.
Identifiez les racines, ou les nombres mis au carré, dans les premier et troisième termes du trinôme. Considérez un autre de vos exemples de trinômes que vous savez déjà être un carré parfait :
x^2 + 8x + 16
De toute évidence, le nombre mis au carré dans le premier terme estX. Le nombre mis au carré dans le troisième terme est 4, car 42 = 16.
Repensez aux formules des trinômes carrés parfaits. Vous savez que vos facteurs prendront soit la forme (une + b)(une + b) ou le formulaire (une – b)(une – b), oùuneetbsont les nombres mis au carré dans les premier et troisième termes. Vous pouvez donc écrire vos facteurs ainsi, en omettant les signes au milieu de chaque terme pour le moment :
(une \,? \,b)(a \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Pour continuer l'exemple en substituant les racines de votre trinôme actuel, vous avez :
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Vérifiez le moyen terme du trinôme. A-t-il un signe positif ou un signe négatif (ou, pour le dire autrement, est-il ajouté ou soustrait)? S'il a un signe positif (ou est ajouté), alors les deux facteurs du trinôme ont un signe plus au milieu. S'il a un signe négatif (ou est soustrait), les deux facteurs ont un signe négatif au milieu.
Le terme moyen du trinôme d'exemple actuel est 8X– c'est positif – donc vous avez maintenant factorisé le trinôme carré parfait :
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Vérifiez votre travail en multipliant les deux facteurs ensemble. L'application de la méthode FOIL ou first, externe, interne, dernière vous donne :
x^2 + 4x + 4x + 16
En simplifiant cela donne le résultatX2 + 8X+ 16, ce qui correspond à votre trinôme. Les facteurs sont donc corrects.