L'algèbre implique souvent la simplification des expressions, mais certaines expressions sont plus déroutantes à traiter que d'autres. Les nombres complexes impliquent la quantité connue sous le nom deje, un nombre « imaginaire » avec la propriétéje= √−1. Si vous devez simplement une expression impliquant un nombre complexe, cela peut sembler intimidant, mais c'est un processus assez simple une fois que vous avez appris les règles de base.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Simplifiez les nombres complexes en suivant les règles de l'algèbre avec les nombres complexes.
Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
Les nombres complexes sont définis par leur inclusion desjeterme, qui est la racine carrée de moins un. En mathématiques de base, les racines carrées des nombres négatifs n'existent pas vraiment, mais elles apparaissent parfois dans des problèmes d'algèbre. La forme générale d'un nombre complexe montre leur structure :
z = a + bi
Oùzétiquette le nombre complexe,unereprésente n'importe quel nombre (appelé la partie "réelle"), et
breprésente un autre nombre (appelé la partie « imaginaire »), qui peuvent tous deux être positifs ou négatifs. Un exemple de nombre complexe est donc :z = 2 −4i
Puisque toutes les racines carrées de nombres négatifs peuvent être représentées par des multiples deje, c'est la forme pour tous les nombres complexes. Techniquement, un nombre régulier décrit juste un cas particulier d'un nombre complexe oùb= 0, donc tous les nombres peuvent être considérés comme complexes.
Règles de base pour l'algèbre avec des nombres complexes
Pour ajouter et soustraire des nombres complexes, ajoutez ou soustrayez simplement les parties réelle et imaginaire séparément. Donc pour les nombres complexesz = 2 – 4jeetw = 3 + 5je, la somme est :
\begin{aligné} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + je \end{aligné}
La soustraction des nombres fonctionne de la même manière :
\begin{aligné} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{aligné }
La multiplication est une autre opération simple avec des nombres complexes, car elle fonctionne comme une multiplication ordinaire sauf que vous devez vous rappeler queje2 = −1. Donc pour calculer 3je × −4je:
3i × -4i = -12i^2
Mais depuisje2= -1, alors :
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Avec des nombres complexes complets (en utilisantz = 2 – 4jeetw = 3 + 5jeencore), vous les multipliez de la même manière que vous le feriez avec des nombres ordinaires comme (une + b) (c + ré), en utilisant la méthode « premier, intérieur, extérieur, dernier » (FOIL), pour donner (une + b) (c + ré) = ca + avant JC + un d + bd. Tout ce que vous devez vous rappeler est de simplifier toutes les instances deje2. Alors par exemple :
\begin{aligné} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{aligné}
Division de nombres complexes
Diviser des nombres complexes consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué complexe du dénominateur. Le complexe conjugué signifie simplement la version du nombre complexe avec la partie imaginaire inversée en signe. Donc pourz = 2 – 4je, le complexe conjuguéz = 2 + 4je, et pourw = 3 + 5je, w = 3 −5je. Pour le problème :
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Le conjugué nécessaire estw*. Divisez le numérateur et le dénominateur par ceci pour donner :
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Et puis vous travaillez comme dans la section précédente. Le numérateur donne :
\begin{aligné} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{aligné}
Et le dénominateur donne :
\begin{aligned} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{aligned}
Ça signifie:
\begin{aligned} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{aligned}
Simplifier les nombres complexes
Utilisez les règles ci-dessus au besoin pour simplifier les expressions complexes. Par example:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Cela peut être simplifié en utilisant la règle d'addition dans le numérateur, la règle de multiplication dans le dénominateur, puis en complétant la division. Pour le numérateur :
(4 + 2i) + (2 - je) = 6 + je
Pour le dénominateur :
\begin{aligné} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{aligné}
Les remettre en place donne :
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
En multipliant les deux parties par le conjugué du dénominateur, on obtient :
\begin{aligné} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{aligné}
Cela signifie donczse simplifie comme suit :
\begin{aligné} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{aligné}