L'algèbre marque le premier véritable saut conceptuel que les étudiants doivent faire dans le monde des mathématiques, en apprenant à manipuler des variables et à travailler avec des équations. Lorsque vous commencerez à travailler avec des équations, vous rencontrerez des défis courants, notamment les exposants, les fractions et les variables multiples. Tous ces éléments peuvent être maîtrisés à l'aide de quelques stratégies de base.
La stratégie de base pour les équations algébriques
La stratégie de base pour résoudre toute équation algébrique est d'abord d'isoler le terme variable d'un côté de l'équation, puis appliquez des opérations inverses si nécessaire pour éliminer tous les coefficients ou exposants. Une opération inverse "défait" une autre opération; par exemple, la division « annule » la multiplication d'un coefficient et les racines carrées « annulent » l'opération de mise au carré d'un exposant de seconde puissance.
Notez que si vous appliquez une opération à un côté d'une équation, vous devez appliquer la même opération de l'autre côté de l'équation. En maintenant cette règle, vous pouvez changer la façon dont les termes d'une équation sont écrits sans changer leur relation les uns avec les autres.
Résoudre des équations avec des exposants
Les types d'équations avec exposants que vous rencontrerez au cours de votre parcours algébrique pourraient facilement remplir un livre entier. Pour l'instant, concentrez-vous sur la maîtrise des équations d'exposant les plus élémentaires, où vous avez un seul terme variable avec un exposant. Par example:
y^2 + 3 = 19
Soustrayez 3 des deux côtés de l'équation, en laissant le terme variable isolé d'un côté :
y^2 = 16
Retirez l'exposant de la variable en appliquant un radical du même indice. N'oubliez pas que vous devez le faire des deux côtés de l'équation. Dans ce cas, cela signifie prendre la racine carrée des deux côtés :
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
Ce qui se simplifie en :
y = 4
Résoudre des équations avec des fractions
Et si votre équation impliquait une fraction? Prenons l'exemple de
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
Si vous distribuez la fraction 3/4 sur (X+ 7), les choses peuvent vite dégénérer. Voici une stratégie beaucoup plus simple.
Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur de la fraction. Dans ce cas, cela signifie multiplier les deux côtés de la fraction par 4:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
Simplifiez les deux côtés de l'équation. Cela revient à :
3(x + 7) = 24
Vous pouvez à nouveau simplifier, ce qui donne :
3x + 21 = 24
Soustrayez 21 des deux côtés, en isolant le terme variable d'un côté de l'équation :
3x = 3
Enfin, divisez les deux côtés de l'équation par 3 pour terminer la résolution deX:
x = 1
Résoudre une équation avec deux variables
Si tu asuneéquation à deux variables, il vous sera probablement demandé de résoudre une seule de ces variables. Dans ce cas, vous suivez à peu près la même procédure que vous utiliseriez pour toute équation algébrique à une variable. Considérez l'exemple
5x + 4 = 2 ans
si on vous demande de résoudreX.
Soustraire 3 de chaque côté de l'équation, en laissant leXterme par lui-même d'un côté du signe égal :
5x = 2y - 4
Divisez les deux côtés de l'équation par 5 pour supprimer le coefficient de laXterme:
x = \frac{2y - 4}{5}
Si on ne vous donne aucune autre information, c'est aussi loin que vous pouvez prendre les calculs.
Résoudre deux équations avec deux variables
Si vous recevez un système (ou un groupe) dedeuxéquations qui contiennent les deux mêmes variables, cela signifie généralement que les équations sont liées - et vous pouvez utiliser une technique appelée substitution pour trouver des valeurs pour les deux variables. Considérez l'équation du dernier exemple, plus une deuxième équation liée qui utilise les mêmes variables :
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Choisissez une équation et résolvez cette équation pour l'une des variables. Dans ce cas, utilisez ce que vous savez déjà sur la première équation de l'exemple précédent, que vous avez déjà résolue pourX:
x = \frac{2y - 4}{5}
Remplacez le résultat de l'étape 1 dans l'autre équation. En d'autres termes, remplacez la valeur (2oui– 4)/5 pour tous les cas deXdans l'autre équation. Cela vous donne une équation avec une seule variable :
\frac{2y – 4}{5} + 3y = 23
Simplifiez l'équation de l'étape 2 et résolvez la variable restante, qui dans ce cas esty.
Commencez par multiplier les deux côtés par 5 :
5 × \bigg( \frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
Cela se simplifie en :
2 ans - 4 + 15 ans = 115
Après avoir combiné des termes similaires, cela se simplifie encore en :
17y = 119
Et enfin, après avoir divisé les deux côtés par 17, vous avez :
y = 7
Remplacez la valeur de l'étape 3 dans l'équation de l'étape 1. Cela vous donne :
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
Ce qui simplifie pour révéler la valeur deX:
x = 2
La solution de ce système d'équations est doncX= 2 etoui = 7.