Comment résoudre des systèmes d'équations par graphique

Les systèmes d'équations peuvent aider à résoudre des questions de la vie réelle dans toutes sortes de domaines, de la chimie aux affaires en passant par le sport. Les résoudre n'est pas seulement important pour vos notes en mathématiques; cela peut vous faire gagner beaucoup de temps, que vous essayiez de fixer des objectifs pour votre entreprise ou votre équipe sportive.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Pour résoudre un système d'équations à l'aide d'un graphique, tracez chaque ligne sur le même plan de coordonnées et voyez où elles se coupent.

Par exemple, imaginez que vous et votre ami installiez un stand de limonade. Vous décidez de diviser pour régner, alors votre ami se rend au terrain de basket du quartier pendant que vous restez au coin de la rue de votre famille. En fin de compte, vous mettez votre argent en commun. Ensemble, vous avez gagné 200 $, mais votre ami a gagné 50 $ de plus que vous. Combien d'argent chacun de vous a-t-il gagné ?

Ou pensez au basket-ball: les tirs effectués en dehors de la ligne des 3 points valent 3 points, les paniers faits à l'intérieur de la ligne des 3 points valent 2 points et les lancers francs ne valent qu'un point. Votre adversaire a 19 points d'avance sur vous. Quelles combinaisons de paniers pourriez-vous faire pour rattraper votre retard ?

La représentation graphique est l'un des moyens les plus simples de résoudre des systèmes d'équations. Tout ce que vous avez à faire est de représenter graphiquement les deux lignes sur le même plan de coordonnées, puis de voir où elles se coupent.

Tout d'abord, vous devez écrire le mot problème sous la forme d'un système d'équations. Attribuez des variables aux inconnues. Appelle l'argent que tu gagnesOui, et l'argent que votre ami gagneF​.

Maintenant, vous disposez de deux types d'informations: des informations sur la somme d'argent que vous avez gagnée ensemble et des informations sur la façon dont l'argent que vous avez gagné par rapport à l'argent que votre ami a gagné. Chacun d'eux deviendra une équation.

Pour la première équation, écrivez :

puisque votre argent plus l'argent de votre ami s'élève à 200 $.

Ensuite, écrivez une équation pour décrire la comparaison entre vos gains.

parce que le montant que vous avez gagné est égal à 50 dollars de moins que ce que votre ami a gagné. Vous pouvez aussi écrire cette équation sous la formeOui​ + 50 = ​F, puisque ce que vous avez gagné plus 50 dollars est égal à ce que votre ami a gagné. Ce sont différentes manières d'écrire la même chose et ne changeront pas votre réponse finale.

Le système d'équations ressemble donc à ceci :

Ensuite, vous devez représenter graphiquement les deux équations sur le même plan de coordonnées. Graphique de votre montant,Oui, sur leoui-axe et le montant de votre ami,F, sur leX-axis (peu importe lequel est lequel tant que vous les étiquetez correctement). Vous pouvez utiliser du papier millimétré et un crayon, une calculatrice graphique portable ou une calculatrice graphique en ligne.

À l'heure actuelle, une équation est sous forme standard et une autre sous forme d'intersection de pente. Ce n'est pas nécessairement un problème, mais par souci de cohérence, mettez les deux équations sous forme d'intersection de pente.

Donc, pour la première équation, convertissez la forme standard en forme à l'origine de la pente. Cela signifie résoudre pourOui; en d'autres termes, obtenezOuipar lui-même sur le côté gauche du signe égal. donc soustraireFdes deux côtés :

N'oubliez pas que sous forme de pente à l'origine, le nombre devant le F est la pente et la constante est l'ordonnée à l'origine.

Pour représenter graphiquement la première équation,Oui​ = −​F+ 200, dessinez un point à (0, 200), puis utilisez la pente pour trouver d'autres points. La pente est de -1, alors descendez d'une unité et sur une unité et tracez un point. Cela crée un point à (1, 199) et si vous répétez le processus en commençant par ce point, vous obtiendrez un autre point à (2, 198). Ce sont de minuscules mouvements sur une grande ligne, alors dessinez un point de plus auX-intercepter pour vous assurer que les choses sont bien représentées sur le long terme. SiOui= 0, alorsFsera 200, alors dessinez un point à (200, 0).

Pour représenter graphiquement la deuxième équation,Oui​ = ​F– 50, utilisez l'ordonnée à l'origine de −50 pour dessiner le premier point à (0, −50). Puisque la pente est de 1, commencez à (0, -50), puis montez d'une unité et de plus d'une unité. Cela vous place à (1, -49). Répétez le processus à partir de (1, -49) et vous obtiendrez un troisième point à (2, -48). Encore une fois, pour vous assurer que vous faites les choses proprement sur de longues distances, vérifiez vous-même en dessinant également dans leX-intercepter. LorsqueOui​ = 0, ​Fsera 50, alors dessinez également un point à (50, 0). Tracez une ligne nette reliant ces points.

Examinez de près votre graphique pour voir où les deux lignes se croisent. Ce sera la solution, car la solution d'un système d'équations est le point (ou les points) qui rendent les deux équations vraies. Sur un graphique, cela ressemblera au point (ou aux points) où les deux lignes se croisent.

Dans ce cas, les deux droites se coupent en (125, 75). La solution est donc que votre ami (leX-coordonnée) avez fait 125 $ et vous (leoui-coordonnée) fait 75 $.

Vérification logique rapide: est-ce que cela a du sens? Ensemble, les deux valeurs s'ajoutent à 200 et 125 est 50 de plus que 75. Ça a l'air bien.

Dans ce cas, il y avait exactement un point où les deux lignes se croisaient. Lorsque vous travaillez avec des systèmes d'équations, il y a trois résultats possibles, et chacun sera différent sur un graphique.

• Si le système a une solution, les lignes se croiseront en un seul point, comme elles l'ont fait dans l'exemple.
• Si le système n'a pas de solutions, les lignes ne se croiseront jamais. Ils seront parallèles, ce qui en termes algébriques signifie qu'ils auront la même pente.
• Le système peut également avoir des solutions infinies, ce qui signifie que vos "deux" lignes sont en fait la même ligne. Ils auront donc tous les points en commun, c'est-à-dire un nombre infini de solutions.