La notion devaleurs propresest obscure mais s'avère très utile pour les mathématiciens et les physiciens confrontés à certains problèmes intéressants.
Pour comprendre une valeur propre, imaginez avoir une fonction (par exemple,oui = X2 + 6X, ou alorsoui= bûche 4X) que vous pourriez appliquer à un processus tel que le résultat serait le même que de multiplier la fonction entière par une valeur constante. Une telle fonction serait qualifiée defonction propre, et la constante serait une valeur propre.
- "Eigen" est l'allemand pour "même".
Pour mieux comprendre les valeurs propres et les fonctions propres, et pouvoir calculer vous-même les valeurs propres, vous avez besoin d'une compréhension de base des matrices. Ces astuces mathématiques sont utilisées pour déterminer, par exemple, l'ordre de liaison de NO2 (dioxyde d'azote) et d'autres molécules, car le comportement des électrons dans les atomes est déterminé par des fonctions d'onde qualifiées de fonctions propres.
Qu'est-ce qu'une matrice ?
Une matrice est un tableau de nombres ordonnés en lignes et en colonnes, qui peut être numéroté de 1 àm. Les dimensions des matrices sont données ligne par colonne; par exemple, ce qui suit est une matrice 2 par 3 :
\begin{bmatrice} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrice}
Les matrices peuvent être additionnées si elles ont la même taille (c'est-à-dire qu'elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes). Ils peuvent également être multipliés ensemble par un processus par étapes dans les mêmes conditions. De plus, toute matrice peut être multipliée par un vecteur, qui est unmou alorsm-par-1 matrice; cela inclut d'autres vecteurs.
Qu'est-ce qu'une équation aux valeurs propres ?
Dites que vous avez unm-par-mou matrice "carrée"UNE, un non nulm-par-1 vecteurv, et un scalaireλ, tel que l'équation suivante est satisfaite :
\bold{Av} = \bold{v}
Toute valeur deλpour laquelle cette équation a une solution est appelée valeur propre de la matriceUNE.
Ne laissez pas votre esprit traiter les expressions ci-dessus comme un produit.UNEest unopérateursur ou une transformation linéaire du vecteurv, ce calcul n'étant possible que parce queUNEetvles deux ontmLignes.
Pourquoi utiliser des fonctions aux valeurs propres ?
La dérivation est compliquée, mais en chimie atomique, l'opérateur hamiltonien "H-bar" est utilisé pour exprimer l'énergie cinétique et potentielle d'un système :
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
Ceci est utilisé pour écrire une forme de laÉquation de fonction d'onde de Schrödingeren mécanique quantique :
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
IciEreprésente les valeurs propres satisfaisant cette équation.
Façons de trouver les valeurs propres d'une matrice
De l'équation Av = λv, vous obtenezUNE v − λv=0. Cela mène à:
\bold{A v} − (\bold{I v})=0
Oùjeest la matrice d'identité 2 par 2 avec des lignes de [λ0] et [0λ], conduisant à 1 lorsqu'il est multiplié par le scalaireλ. Ce résultat donne :
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
Lequel sivn'est pas nul, n'a de solution que si la valeur absolue deUNE− λje, ou |UNE − λje|, vaut zéro. Si vous les faites à la main, cela implique de résoudre une équation quadratique et peut être fastidieux.
Pour multiplier deux matrices ensemble, pour chaque point de la matrice produit, vous multipliez les points correspondants ensemble et ajoutez ceci aux produits des éléments de ligne et de colonne restants dans la ligne et la colonne auxquels le nouveau point fait parti.
En multipliant deux matrices 2 par 2UNEetBensemble, si la première rangée deUNEest [1 3] et la première colonne deBest [2 5], le nombre dans la première colonne et la première ligne de la nouvelle matrice serait [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15, et en conséquence pour les trois autres points.
Calculer les valeurs propres en ligne
Dans les ressources, vous trouverez un outil de calcul matriciel qui vous permet de trouver des valeurs propres et plus encore pour une matrice de presque toutes les tailles imaginables.