La factorisation d'un polynôme consiste à trouver des polynômes d'ordre inférieur (l'exposant le plus élevé est inférieur) qui, multipliés ensemble, produisent le polynôme à factoriser. Par exemple, x^2 - 1 peut être factorisé en x - 1 et x + 1. Lorsque ces facteurs sont multipliés, les -1x et +1x s'annulent, laissant x^2 et 1.
De puissance limitée
Malheureusement, l'affacturage n'est pas un outil puissant, ce qui limite son utilisation dans la vie de tous les jours et dans les domaines techniques. Les polynômes sont fortement truqués à l'école primaire afin qu'ils puissent être factorisés. Dans la vie de tous les jours, les polynômes ne sont pas aussi conviviaux et nécessitent des outils d'analyse plus sophistiqués. Un polynôme aussi simple que x^2 + 1 n'est pas factorisable sans utiliser des nombres complexes, c'est-à-dire des nombres qui incluent i = √(-1). Des polynômes d'ordre aussi bas que 3 peuvent être extrêmement difficiles à prendre en compte. Par exemple, x^3 - y^3 se factorise en (x - y)(x^2 + xy + y^2), mais il ne se factorise pas davantage sans recourir à des nombres complexes.
Sciences au lycée
Les polynômes du second ordre - par exemple, x^2 + 5x + 4- - sont régulièrement pris en compte dans les classes d'algèbre, vers la huitième ou la neuvième année. Le but de l'affacturage de telles fonctions est de pouvoir alors résoudre des équations de polynômes. Par exemple, la solution de x^2 + 5x + 4 = 0 sont les racines de x^2 + 5x + 4, à savoir -1 et -4. Être capable de trouver les racines de tels polynômes est fondamental pour résoudre des problèmes dans les cours de sciences au cours des 2 à 3 années suivantes. Des formules de second ordre apparaissent régulièrement dans ces classes, par exemple dans les problèmes de projectiles et les calculs d'équilibre acide-base.
La formule quadratique
En proposant de meilleurs outils pour remplacer la factorisation, vous devez vous rappeler quel est le but de la factorisation en premier lieu: résoudre des équations. La formule quadratique est une façon de contourner la difficulté de factoriser certains polynômes tout en servant à résoudre une équation. Pour les équations de polynômes du second ordre (c'est-à-dire de forme ax^2 + bx + c), la formule quadratique est utilisée pour trouver les racines du polynôme et donc la solution de l'équation. La formule quadratique est x = [-b +/- √(b^2 - 4ac)] / [2a], où +/- signifie "plus ou moins". Notez qu'il n'est pas nécessaire d'écrire (x - root1)(x - root2) = 0. Au lieu de factoriser pour résoudre l'équation, la solution de la formule peut être résolue directement sans factoriser comme étape intermédiaire, bien que la méthode soit basée sur la factorisation.
Cela ne veut pas dire que l'affacturage est superflu. Si les élèves apprenaient l'équation quadratique de résolution d'équations de polynômes sans apprendre la factorisation, la compréhension de l'équation quadratique serait réduite.
Exemples
Cela ne veut pas dire que la factorisation de polynômes ne se fait jamais en dehors des cours d'algèbre, de physique et de chimie. Les calculatrices financières portables effectuent un calcul d'intérêt quotidien à l'aide d'une formule qui est la factorisation des paiements futurs avec la composante d'intérêt annulée (voir diagramme). Dans les équations différentielles (équations de taux de variation), la factorisation de polynômes de dérivées (taux de variation) est effectuée pour résoudre ce qu'on appelle « homogène équations d'ordre arbitraire." Un autre exemple est dans le calcul d'introduction, dans la méthode des fractions partielles pour faire l'intégration (résolution de l'aire sous une courbe) Plus facile.
Solutions informatiques et utilisation de l'apprentissage de base
Ces exemples sont bien sûr loin d'être quotidiens. Et lorsque l'affacturage devient difficile, nous avons des calculatrices et des ordinateurs pour faire le gros du travail. Au lieu de vous attendre à une correspondance directe entre chaque sujet mathématique enseigné et les calculs quotidiens, regardez la préparation que le sujet fournit pour une étude plus pratique. L'affacturage doit être apprécié pour ce qu'il est: un tremplin vers l'apprentissage de méthodes de résolution d'équations de plus en plus réalistes.