Avant de commencer à simplifier ou à manipuler des expressions rationnelles, prenez un moment pour revoir ce que l'expression rationnelle elle-même est: Une fraction avec un polynôme à la fois au numérateur et au dénominateur. Ou, pour le dire autrement, un rapport d'un polynôme à un autre. Une fois que vous avez identifié une expression rationnelle, le processus de simplification se résume à trois étapes.
Les étapes de la simplification des expressions rationnelles
Le processus de simplification des fonctions rationnelles suit une feuille de route assez simple. La première chose que vous devez faire est de combiner des termes similaires, si vous ne l'avez pas déjà fait, pour vous aider à voir clairement les polynômes.
Ensuite, factorisez chaque polynôme. Parfois, tout ce que vous avez à faire est d'écrire chaque terme. Par exemple, il est clair que 4x (qui est en fait un polynôme, même s'il n'a qu'un seul terme) a deux facteurs: 4 et X. Mais avec des polynômes plus compliqués, votre meilleur outil est souvent de reconnaître des modèles pour des types spécifiques de polynômes que vous avez déjà appris. Par exemple, si vous avez prêté une attention particulière à vos formules, vous vous souviendrez peut-être qu'un polynôme de la forme
Une fois que vos polynômes sont entièrement factorisés, la dernière étape consiste à annuler tous les facteurs communs qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur. Le résultat est votre polynôme simplifié.
Conseils
Et si les polynômes de votre expression rationnelle n'étaient pas d'une forme que vous savez facilement factoriser? Il existe d'autres techniques que vous pouvez utiliser pour les factoriser, comme compléter le carré ou utiliser la formule quadratique.
Un avertissement sur le dénominateur
Vous ne serez peut-être pas surpris d'apprendre qu'il y a un petit piège ici. Habituellement, le domaine (ou l'ensemble de X valeurs) pour votre expression rationnelle sont supposés être l'ensemble de tous les nombres réels. Mais si quelque chose arrive à faire le dénominateur de votre fraction zéro, le résultat est une fraction indéfinie.
Qu'est-ce qui rendrait votre dénominateur nul? Habituellement, un petit examen suffit pour le découvrir. Par exemple, si le dénominateur de votre fraction a été réduit aux facteurs (x + 2)(x - 2), puis la valeur X = -2 rendrait le premier facteur égal à zéro, et X = 2 rendrait le deuxième facteur égal à zéro.
Donc, ces deux valeurs, -2 et 2, doivent être exclues du domaine de votre expression rationnelle. Vous noterez généralement cela avec le signe "pas égal" ou ≠. Par exemple, si vous devez exclure -2 et 2 du domaine, vous écrivez x -2, 2.
Simplifier les expressions rationnelles: exemples
Maintenant que vous comprenez le processus de simplification des expressions rationnelles, il est temps de regarder quelques exemples.
Exemple 1: Simplifier l'expression rationnelle (X2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Il n'y a pas de termes similaires à combiner ici, vous pouvez donc ignorer cette première étape. Ensuite, avec vos yeux perçants et un peu de pratique, vous pouvez constater que le numérateur et le dénominateur sont tous deux facilement factorisés :
(x + 2)(x - 2) / (x + 2)(x + 2)
Peut-être que tu le remarqueras aussi (x + 2) est un facteur à la fois du numérateur et du dénominateur. Une fois que vous avez annulé le facteur partagé, il vous reste :
(x - 2) / (x + 2)
Vous avez simplifié votre expression rationnelle autant que possible, mais il reste une chose à faire: identifier tous les « zéros » ou les racines qui entraîneraient une fraction indéfinie, vous pouvez donc les exclure de la domaine. Dans ce cas, il est facile de voir par examen que lorsque X = -2, le facteur en bas sera égal à zéro. Donc votre expression rationnelle simplifiée est en fait :
(x - 2) / (x + 2), x -2
Exemple 2 : Simplifier l'expression rationnelle x / (x2 - 4x)
Il n'y a pas de termes similaires à combiner, vous pouvez donc passer directement à l'affacturage par examen. Il n'est pas trop difficile de repérer que vous pouvez factoriser un X à partir du terme inférieur, ce qui vous donne :
x / x (x - 4)
Vous pouvez annuler le X facteur à la fois du numérateur et du dénominateur, ce qui vous laisse :
1 / (x - 4)
Maintenant, votre expression rationnelle est simplifiée, mais vous devez également noter toute X valeurs qui entraîneraient une fraction indéfinie. Dans ce cas, X = 4 renverrait une valeur de zéro au dénominateur. Donc ta réponse est :
1 / (x - 4), x 4