Résoudre des inégalités de valeur absolue ressemble beaucoup à la résolution d'équations de valeur absolue, mais il y a quelques détails supplémentaires à garder à l'esprit. Cela aide d'être déjà à l'aise pour résoudre des équations en valeur absolue, mais ce n'est pas grave si vous les apprenez aussi ensemble !
Définition de l'inégalité en valeur absolue
Tout d'abord, uninégalité en valeur absolueest une inégalité qui implique une expression de valeur absolue. Par example,
| 5 + x | - 10 > 6
est une inégalité de valeur absolue car elle a un signe d'inégalité, >, et une expression de valeur absolue, | 5 +X |.
Comment résoudre une inégalité en valeur absolue
leétapes pour résoudre une inégalité en valeur absolueressemblent beaucoup aux étapes de la résolution d'une équation en valeur absolue :
Étape 1:Isolez l'expression de la valeur absolue d'un côté de l'inégalité.
Étape 2:Résoudre la "version" positive de l'inégalité.
Étape 3:Résolvez la « version » négative de l'inégalité en multipliant la quantité de l'autre côté de l'inégalité par −1 et en retournant le signe de l'inégalité.
C'est beaucoup à assimiler d'un seul coup, alors voici un exemple qui vous guidera à travers les étapes.
Résoudre l'inégalité pourX:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Pour ce faire, obtenez | 5 + 5X| par lui-même sur le côté gauche de l'inégalité. Tout ce que vous avez à faire est d'ajouter 3 de chaque côté :
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Il existe maintenant deux « versions » de l'inégalité que nous devons résoudre: la « version » positive et la « version » négative.
Pour cette étape, nous supposerons que les choses sont telles qu'elles apparaissent: que 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
C'est une simple inégalité; vous avez juste à résoudre pourXcomme d'habitude. Soustrayez 5 des deux côtés, puis divisez les deux côtés par 5.
\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(soustrait cinq des deux côtés)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(diviser les deux côtés par cinq)} \\ &x > 0 \end{aligned}
Pas mal! Une solution possible à notre inégalité est donc queX> 0. Maintenant, puisqu'il y a des valeurs absolues impliquées, il est temps d'envisager une autre possibilité.
Pour comprendre ce bit suivant, il est utile de se rappeler ce que signifie la valeur absolue.Valeur absoluemesure la distance d'un nombre à zéro. La distance est toujours positive, donc 9 est à neuf unités de zéro, mais -9 est également à neuf unités de zéro.
Alors | 9 | = 9, mais | −9 | = 9 aussi.
Revenons maintenant au problème ci-dessus. Le travail ci-dessus a montré que | 5 + 5X| > 5; en d'autres termes, la valeur absolue de "quelque chose" est supérieure à cinq. Maintenant, tout nombre positif supérieur à cinq sera plus éloigné de zéro que cinq. Donc la première option était que "quelque chose", 5 + 5X, est plus grand que 5.
C'est-à-dire:
5 + 5x > 5
C'est le scénario abordé ci-dessus, à l'étape 2.
Maintenant, réfléchissez un peu plus loin. Quoi d'autre est à cinq unités de zéro? Eh bien, moins cinq est. Et tout ce qui se trouve plus loin sur la droite numérique à partir de moins cinq sera encore plus éloigné de zéro. Ainsi, notre « quelque chose » pourrait être un nombre négatif plus éloigné de zéro que moins cinq. Cela signifie que ce serait un nombre plus gros, mais techniquementmoins quemoins cinq parce qu'il se déplace dans le sens négatif sur la droite numérique.
Ainsi, notre "quelque chose", 5 + 5x, pourrait être inférieur à -5.
5 + 5x < -5
Le moyen rapide de le faire algébriquement est de multiplier la quantité de l'autre côté de l'inégalité, 5, par moins un, puis d'inverser le signe de l'inégalité :
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Ensuite, résolvez comme d'habitude.
\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(soustrait 5 des deux côtés)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{aligné}
Les deux solutions possibles de l'inégalité sont doncX> 0 ouX< −2. Vérifiez-vous en introduisant quelques solutions possibles pour vous assurer que l'inégalité est toujours vraie.
Inégalités en valeur absolue sans solution
Il y a un scénario où il y auraitpas de solution à une inégalité en valeur absolue. Étant donné que les valeurs absolues sont toujours positives, elles ne peuvent pas être égales ou inférieures à des nombres négatifs.
Alors |X| < −2 apas de solutioncar le résultat d'une expression de valeur absolue doit être positif.
La notation des intervalles
Pour écrire la solution de notre exemple principal dansla notation des intervalles, réfléchissez à l'apparence de la solution sur la droite numérique. Notre solution étaitX> 0 ouX< −2. Sur une droite numérique, c'est un point ouvert à 0, avec une ligne s'étendant jusqu'à l'infini positif et un point ouvert à -2, avec une ligne s'étendant jusqu'à l'infini négatif. Ces solutions sont éloignées les unes des autres, pas l'une vers l'autre, alors prenez chaque pièce séparément.
Pour x > 0 sur une droite numérique, il y a un point ouvert à zéro, puis une ligne s'étendant jusqu'à l'infini. En notation par intervalles, un point ouvert est illustré par des parenthèses, ( ), et un point fermé, ou des inégalités avec ≥ ou ≤, utiliseraient des crochets, [ ]. Donc pourX> 0, écrivez (0, ).
L'autre moitié,X< -2, sur une droite numérique se trouve un point ouvert à -2, puis une flèche s'étendant jusqu'à -∞. En notation par intervalles, c'est (−∞, −2).
"Ou" en notation d'intervalle est le signe de l'union, .
Donc la solution en notation par intervalles est
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)