Rien ne gâche une équation comme les logarithmes. Ils sont encombrants, difficiles à manipuler et un peu mystérieux pour certaines personnes. Heureusement, il existe un moyen simple de débarrasser votre équation de ces expressions mathématiques embêtantes. Il suffit de se rappeler qu'un logarithme est l'inverse d'un exposant. Bien que la base d'un logarithme puisse être n'importe quel nombre, les bases les plus couramment utilisées en science sont 10 et e, qui est un nombre irrationnel connu sous le nom de nombre d'Euler. Pour les distinguer, les mathématiciens utilisent « log » lorsque la base est 10 et « ln » lorsque la base est e.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Pour débarrasser une équation des logarithmes, élever les deux côtés au même exposant que la base des logarithmes. Dans les équations à termes mixtes, rassemblez tous les logarithmes d'un côté et simplifiez d'abord.
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Le concept d'un logarithme est simple, mais il est un peu difficile à mettre en mots. Un logarithme est le nombre de fois que vous devez multiplier un nombre par lui-même pour obtenir un autre nombre. Une autre façon de le dire est qu'un logarithme est la puissance à laquelle un certain nombre - appelé la base - doit être élevé pour obtenir un autre nombre. La puissance s'appelle l'argument du logarithme.
Par exemple, enregistrez82 = 64 signifie simplement qu'élever 8 à la puissance 2 donne 64. Dans le journal des équations X = 100, la base est comprise comme étant 10, et vous pouvez facilement résoudre l'argument, X car il répond à la question « 10 élevé à quelle puissance égale 100? » La réponse est 2.
Un logarithme est l'inverse d'un exposant. Le journal des équations X = 100 est une autre façon d'écrire 10_X_ = 100. Cette relation permet de supprimer les logarithmes d'une équation en élevant les deux côtés au même exposant que la base du logarithme. Si l'équation contient plus d'un logarithme, ils doivent avoir la même base pour que cela fonctionne.
Exemples
Dans le cas le plus simple, le logarithme d'un nombre inconnu est égal à un autre nombre :
\log x = y
Élevez les deux côtés aux exposants de 10, et vous obtenez
10^ {\log x} = 10^y
Depuis 10(log x) est simplement X, l'équation devient
x = 10^y
Lorsque tous les termes de l'équation sont des logarithmes, élever les deux côtés à un exposant produit une expression algébrique standard. Par exemple, augmenter
\log (x^2 - 1) = \log (x + 1)
à la puissance 10 et vous obtenez :
x^2 - 1 = x + 1
qui se simplifie en
x^2 - x - 2 = 0.
Les solutions sont X = −2; X = 1.
Dans les équations qui contiennent un mélange de logarithmes et d'autres termes algébriques, il est important de rassembler tous les logarithmes d'un côté de l'équation. Vous pouvez ensuite ajouter ou soustraire des termes. D'après la loi des logarithmes, ce qui suit est vrai :
\log x + \log y = \log (xy) \\ \,\\ \log x - \log y = \log \bigg(\frac{x}{y}\bigg)
Voici une procédure pour résoudre une équation avec des termes mixtes :
Commencez par l'équation: Par exemple
\log x = \log (x - 2) + 3
Réorganisez les termes :
\log x - \log (x - 2) = 3
Appliquer la loi des logarithmes :
\log \bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 3
Élevez les deux côtés à une puissance de 10 :
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3
Résoudre pour X:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \frac{2000}{999}=2.002