Un exposant positif vous indique combien de fois multiplier le nombre de base par lui-même. Par exemple, le terme exponentieloui3 est le même queoui × oui × oui, ou alorsouimultiplié par lui-même deux fois. Une fois que vous avez compris ce concept de base, vous pouvez commencer à ajouter des couches supplémentaires comme des exposants négatifs, des exposants fractionnaires ou même une combinaison des deux.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Un exposant fractionnaire négatifoui −m/m peut être factorisé sous la forme :
1 / (m√oui)m
Factorisation des puissances négatives
Avant de factoriser les exposants fractionnaires négatifs, jetons un coup d'œil rapide à la façon de factoriser les exposants négatifs, ou puissances négatives, en général. Un exposant négatif fait exactement l'inverse d'un exposant positif. Ainsi, alors qu'un exposant positif commeune4 vous dit de multiplierunepar lui-même trois fois (il y en a donc quatre au total dans l'expression), ouune × une × une × une,voir un exposant négatif vous dit dediviserparunequatre fois: donc
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
Ou, pour le dire plus formellement :
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
Factorisation des exposants fractionnaires
La prochaine étape consiste à apprendre à factoriser les exposants fractionnaires. Commençons par un exposant fractionnaire très simple, tel queX1/oui. Lorsque vous voyez un exposant fractionnaire comme celui-ci, cela signifie que vous devez prendre leouie racine du nombre de base. Pour le dire plus formellement :
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
Si cela vous semble déroutant, quelques exemples plus concrets peuvent vous aider :
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(Rappelez-vous,Xest le même que 2√X;mais cette expression est si commune que le 2, ou le numéro d'index, est omis.)
8^{1/3} = \sqrt[3]{8 }= 2
Et si le numérateur de l'exposant fractionnaire n'est pas 1? Ensuite, la valeur de ce nombre reste sous forme d'exposant, appliqué à l'ensemble du terme "racine". En termes formels, cela signifie :
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
Comme exemple plus concret, considérons ceci :
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
Combinaison d'exposants négatifs et fractionnaires
Lorsqu'il s'agit de factoriser des exposants fractionnaires négatifs, vous pouvez combiner ce que vous avez appris sur la factorisation d'expressions avec des exposants négatifs et ceux avec des exposants fractionnaires.
Rappelles toi,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
peu importe ce qu'il y a dans leouiendroit;ouipourrait même être une fraction.
Donc si tu as une expressionX −une/b, c'est égal à 1/(Xune/b). Mais vous pouvez simplifier un peu plus en appliquant également ce que vous savez sur les exposants fractionnaires au terme du dénominateur de la fraction.
Rappelles toi,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
ou, pour utiliser les variables que vous utilisez déjà,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
Donc, aller encore plus loin en simplifiantX −une/b, vous avez
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
C'est aussi loin que vous pouvez simplifier sans en savoir plus surX, bou alorsune.Mais si vous en savez plus sur l'un de ces termes, vous pourrez peut-être simplifier davantage.
Un autre exemple de simplification des exposants fractionnaires négatifs
Pour illustrer cela, voici un autre exemple avec un peu plus d'informations ajoutées :
Simplifier
16^{-4/8}
Tout d'abord, avez-vous remarqué que −4/8 peut être réduit à −1/2? Donc tu as 16 −1/2, qui semble déjà beaucoup plus convivial (et peut-être même plus familier) que le problème d'origine.
En simplifiant comme avant, vous arriverez à
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
qui s'écrit généralement simplement comme
\frac{1}{\sqrt{16}}
Et puisque vous savez (ou pouvez calculer rapidement) que √16 = 4, vous pouvez simplifier cette dernière étape pour :
16^{-4/8} = \frac{1}{4}